|
| |
|
Слаботочка Книги но, амплитуда второй гармоники равна 2 с Аналогично, умножая ряд (14) на cosSQctdt, cosAQctdt, определяем амплитуды соответствующих гармоник в виде т т 6з; = 7 J ti cos Зйс cf/, и = -ут- J а cos 4Qc dt. Для п-й гармоники 2 > - у- J cos tiQc t dt. (17) в нашем случае u=U на протяжении двух отрезков времени по т/2 каждый, а в остальное время а = 0. Поэтому амплитуда п-к гармоники равна 2 V 2 п,п = г~ COSAiQctdt = у-2 \ UcosnQctdt = Введем в числитель и знаменатель выражения множитель , чтобы получить функцию типа где х - - = тпР: sin - Теперь, зная амплитуды всех гармоник, приступаем к построению спектральной диаграммы (рис. 1.13). От начала координат (/ = 0) откладываем линию постоянной составляющей Uq = UJq [см. выражение (15)]. Затем используем соотношение (18), где UJq- постоянная величина, ах - независимая переменная, прямо пропорциональная частоте гармоники пРа- Следовательно, форма огибающей спектра (пунктирная линия) определяется отношением sin х/х. Если номер гармоники п невелик, то в случае большой скважности импульсов q угол х очень мал. В этом можно убедиться, выразив X через q\ х = тпРс =-Y = j* (19) Например, при п=\ и = 1000 угол = 0,001 л; = О,IS*. Для такого малого угла sin л: л; и IVт Sin X 2U т. е. амплитуда первой гармоники Uim в два раза больше постоянной составляющей Uq. Отрезок Uxm откладываем против частоты F q. Приближенное равенство s\n х к показывает также, что в области малых значений х синус угла изменяется почти прямо пропорционально углу. Затем рост функции sin х замедляется, и, когда sin л: достигает максимума (± 1), скорость изменения синусной функции равна нулю. Поэтому амплитуда второй гармоники {Unm = = Uzmy / = nFc = 2Fc) меньше, чем первой, амплитуда третьей {Unm = ит, f = tiF =3Fc) - меньше, чем второй, и т. д.; когда же х = = л/2 и sin ;с = 1, имеем f г X г Рис. 1.13. Спектр последовательности нрямоугольных видеоимпульсов. 2(/ sin X 2U = 1.274 Когда угол х = л, то sin л; = б и (У = 0. Эта точка диаграммы характерна тем, что она расположена на оси частот и соответствует согласно выражению х = mnFo = лп/q частоте tiFc и гармонике п, равным При переходе к гармоникам п свыше q, т.е. к наблю- дается рост sin л; и (7, но уже с отрицательным знаком. Этот рост прекращается при угле х = Зя/2, соответствующем sinAT = - 1. Тогда 2Um Sin X 2Um -bii =-0,424. Зтс q Дальнейшее увеличение n я x сопровождается уменьшением sin X (по абсолютной величине), и когда х = 2я, то sin= О и огибающая спектра второй раз пересекает ось частот. Очевидно, 7Z ЧТО при этом номер гармоники п = хд/л = ~ = 2q, а частота ее nFo = = ? = i-, тех лт X Следующий максимум огибающей получается при х = 5л/2, sin а; = 1, величина максимума равна и =. = 0 254. При д: = Зл номер гармоники п = xq/л - Sq, частота ее пРс = X 3 = - = - и Unrn = О так как sin Зя = 0. Этим заканчивается третья, положительная, ветвь огибающей. Четвертая ветвь находится в области отрицательных значений, достигая величины 7ic 4 -0,\S2Umtq при х = -2 и заканчиваясь при jf = -7 и п = Aq, Каждая последующая ветвь по-прежнему охватывает область частот, равную 1/т, и число гармоник, равное q. Из сказанного следуют выводы: 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов содержит бесконечно больиюе число гармоник, кратных частоте следования Fq. Практически число гармоник конечное, но все же очень большое (при q = 1000 на каждую ветвь спектра приходится 1000 гармоник). Это объясняется тем, что прямоугольные импульсы имеют очень резкие перепады напряжения и только огромное число косинусоидальных напряжений, суммируясь, может дать одну и ту же величину и = Um на протяжении импульса т и ы = О в интервале между импульсами. 2. Огибающая спектра по форме представляет затухающую кривую, которая проходит ось абсцисс через равные интервалы частот 1/т, 2/т, 3/т,... Так как каждый последующий максимум огиба- ющеи меньше данного 0,424, 0,254f/ 0.182f/, TO и энергии в соответствующей ветви заключено меньше. Например, в первых двух ветвях, т. е. в диапазоне частот О-2/т, сосредоточено 95% всей энергии импульса, остальные же 5% приходятся на частоты от 2/т до оо. 3. Чем MCHbuie длительность импульса т, тем шире область частот спектра, в которой распределяется основная часть энергии импульсов. Например, для сохранения 95% энергии импульсов нужно воспроизвести спектр частот, имеющий при т = 1 мкс-ек ширину 2 2 Д/сп - 10= = 2 -10*! гг{ = 2Мгц, а при т = 0,1 ж/ссе/с -ширину Д/сп = - = 20 Мгц. 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 |