|
| |
|
Слаботочка Книги 22. Свободные колебания в реальном контуре Уравнения колебаний. Эквивалентная схема реального контура (рис. 3.2) содержит индуктивность L, емкость С и активное сопротивление г, которое равно сумме сопротивлений потерь в индуктивности {rj) и емкости (г). Свободные колебания в реальном и идеальном контурах, имеющих одинаковые L и С, весьма незначительно отличаются по частоте и существенно отличаются по закону изменения амплитуды. В реальном контуре преобразование реактивной энергии (электрической в магнитную и обратно) сопровождается потерями на сопротивлении г, вследствие чего амплитуда колебаний уменьшается от периода к периоду, или, как говорят, свободные колебания в реальном контуре имеют затухающий характер. Изменение амплитуды является признаком того, что эти колебания, строго говоря, несинусоидальные. Допустим, что в момент времени / происходит разряд конденсатора током i, положительное направление которого показано на рис. 3.2. В таких условиях конденсатор играет роль источника э. д. с , и, следовательно, э. д. с. емкости равна напряжению на конденсаторе и. При токе i заряд конденсатора за время dt изменяется на dq = -idt (знак минус указывает на уменьшение заряда q при разряде). Значит, полный заряд в момент i определяет- ся интегралом q = - \ idt я э. д. с. емкости равна Рис. 3.2. Эквивалентная схема реального колебательного контура = c = -f =--cw- Эта э. д. с. вызывает в контуре ток, от которого возникают падения напряжения: и - на катушке индуктивности и = ir - на активном сопротивлении контура, причем напряжение уравно- вешивается э. д. с. самоиндукции - - / Согласно второму закону Кирхгофа сумма э. д. с. и сумма падений напряжения в замкнутой цепи равны между собой {3q = и + и или + - = 0): . di , . , 1 + -0 idt = 0. .-rjm wuc части уравнения по времени / и делим все слагаемые на L: £1 L dt LC (49) Это линейное дифференциальное уравнение решается методом подстановки. Будем искать решение на основе физических представлений. Если в момент времени t ток в контуре имеет амплитудное значение /;; то запас реактивной энергии в контуре равен 11/2, а мощность потерь равна 2. В ближайший элементарный отрезок времени dt запас энергии сокращается на величину lrdi/2, вследствие чего новое значение амплитуды тока больше, чем на некоторую величину dlni<.- Теперь баланс энергии таков (50) m JJn т. т. I 2 - 2 ~ 2 - 2 У~ Отсюда имеем Выражение 4=т Y-idt.? (l- разлагаем, как бином Ньютона, сохранив в разложении два слагаемых; остальными членами из-за малости величины jdt пренебрегаем. Тогда 1 = 1. г \ 2 Г dim = /. 2L dt, (51) где Тц = - - коэффициент, называемый постоянной времени контура* Интегрирование по времени выражения (51),и последующее потенцирование дает Постоянную интегрирования С находим из начальных условий: в начале процесса (< = 0) амплитуда тока 1 = 1,, т. е. /ц = ее = е, а для момента времени / амплитуда тока равна (52) Отсюда мгновенное значение тока в контуре i= / SlnG)at = /ате sin Дважды дифференцируем (53) по времени t, имея в виду правило дифференцирования произведения двух функций dH dl lom\-T sin (.>o < 4- e 0 cos (Oo M .
(54) 1 ~ Z s (Oo - e sin / . Теперь производим подстановку из (53), (54) и (55) в (49); (55) I -2 sin о / - --~ о cos / - (Dq sin (On / - 7- sin wq + / пт e + (Oq cos o)q sin J - Q. Приравняв выражение в скобках к нулю и произведя подстановку Хц = = 2L/r, получаем / ,2 1 \ 4l2 - 0 - 2l2 + LC 1 sin Oigt - /2(00 f Л - [lc sin сод = 0. cos (On (56) lc ~ 4L2 Поскольку выражение в скобках равно нулю, то имеем = г lc ~ 4L2 Постоянная времени контура Тц = 2L/r и собственная частота т / 1 его 0 = У ijji выражены через параметры L, С, г; этим подтверждается, что уравнению (49) удовлетворяет выражение для мгновенного значения тока в контуре (53). Аналогично доказывается, что мгновенное значение напряжения на индуктивности контура t L = ome sin(a)o/ + t), (57) где - начальная амплитуда напряжения; г)=arctg((D,Tц) -сдвиг по фазе между напряжением и током 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 |