Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

Вдоль продольной оси в областях 1, 2, 3 изменение поля предполагается таким же, как в модели с идеальными цилиндрическими поверхностями при г = а. Граничные условия на поперечных поверхностях г = ±Ы2 дают уравнения (2.2). Таким образом, собственные частоты круглого цилиндрического ДР для данной модели определяются по уравнениям (2.2) и (2.3). При = О имеем симметричные Нотр и Ейтр колебания, а для остальных п - гибридные НЕптр и ЕНптр колебания. Индекс п соответствует вариациям поля вдоль угловой координаты а, индекс т - вдоль оси г. Он равен номеру корня уравнения (2.3) при решении его относительно РдЯ. А индекс р соответствует числу вариацийвдоль оси г. Он равен номеру корня уравнения (2.2) при решении его относительно Pzs- Уравнение (2.2а) определяет частоты Нотр и НЕптр колебаний, а уравнение (2.26) - частоты Ешр и ЕНптр колебаний. При = О для определения частот Нотр колебаний берутся корни выражения в правой квадратной скобке уравнения (2.3), а для частот £отр - в левой. Следует отметить, что для соотношения между размерами ДР а> L основным типом колебаний является Hon, который в некоторых публикациях обозначают как Нт, учитывая, что вдоль оси г в области 2 укладывается меньше половины длины волны поля ДР. Простая модель ДР с открытыми границами дает хорошее приближение при вычислении собственных частот этих колебаний ДР с соотношением Ы2а 0,2. Например, для Яцц колебания при LI2a < 0,2 и 8д = 100 ошибка расчета частоты основного типа колебаний больше 4%, а при L/2a > 0,3 эта ошибка меньше 2 %.

Модель с открытыми границами дает завышенные значения частот колебания при LI2a > 0,4...0,5 и заниженные при LI2a < < 0,4...0,5, что объясняется неучетом влияния внешнего поля между плоскостями г - ±.Ы2а а г - а на волновые числа модели ДР.

Существуют два метода уточнения расчета основной Ядц частоты ДР для модели с открытыми границами, основанные на учете поля вне указанных границ. Один из них заключается в последовательном использовании нескольких различных моделей ДР, например: 1) все поверхности ДР являются магнитными стенками; 2) магнитные стенки - только боковые поверхности; 3) магнитные стенки - только торцевые поверхности; 4) модель с открытыми границами. Резонансную частоту 2-й модели приравнивают частоте 1-й модели и находят некоторую эффективную толщину ДР в 1-й модели. Таким же образом, используя 3-ю и 1-ю модели, находят некоторую эффективную толщину ДР в 1-й модели, а используя 3-ю и 2-ю модели, находят радиус некоторых ДР с эффективной толщиной 1-й модели. Повторяя описанную процедуру в обратном порядке, находят толщину эффективного ДР. Частоту эффективного ДР определяют из 1-й модели с эффективными размерами. Искомую уточненную частоту находят как среднее арифметическое частот эффективного ДР и модели с открытыми границами. Ошибка расчета частоты этим сложным способом не превышает 1...2 % [96].

Другой более простой метод уточнения модели ДР с открытыми границами основан на введении эффективной диэлектрической

проницаемости 8s в уравнение для поперечного волнового числа. Эффективная диэлектрическая проницаемость находится из сравнения распределения поля вдоль оси г в эквивалентном диэлектрическом волноводе, описываемого функцией cos fizsZ, и поля в модели ДР с магнитными стенками, описываемого функциями cos Рг22 и ехр (-Pziz). Приравнивая средние значения полей в диэлектрическом волноводе и в модели ДР с магнитными стенками на интервале Z ~ ±я/2, получают эффективное продольное волновое число (93]

Ргэ = -Г- Рг2/2 + -i- COS 2/2 \ Рг РгО

Замена волнового числа Р22 на в характеристическом уравнении диэлектрического волновода соответствует замене диэлектрической проницаемости 8д на 83:

.=-(й.+й).

Зависимость поперечного волнового числа для Яоп типа колебаний ДР с учетом Ргэ и 8э показзна на рис. 2.6.

Порядок расчета частоты Яцц колебаний ДР следующий: определяют частоту модели ДР с магнитными стенками (например, из рис. 2.5); уточняют поперечное волновое число из характеристического уравнения диэлектрического волновода (2.3) или графика (рис. 2.6); находят частоту ДР с уточненным значением поперечного волнового числа. Ошибка расчета этим методом не превышает 1...4 % для ДР с диэлектрической проницаемостью 20...300 [41].

ZSO 350 Ш 550

Рис. 2.6. Зависимость поперечного волнового числа о использованием эффективной диэлектрической проницаемости от параметров /, а, вд

Более точный метод расчета ДР произвольной формы основан на решении интегрального уравнения. По сравнению с методами частичных областей и конечных элементов, он не требует рассмотрения поля вне области диэлектрика. Кроме того, этот метод наиболее удобен для реализации на ЭВМ. Причем трехмерная задача сводится либо к решению объемного интегрального уравнения, либо чаще она преобразуется к двухмерной задаче путем замены неизвестных функций, заданных в некотором объеме, неизвестными функциями, заданными на некоторой поверхности, в результате чего вместо волнового уравнения со сложными граничньши условиями искомое решение выражают через неизвестные функции, заданные на двухмерной поверхности. Несмотря на то что интегральные уравнения более трудны, решение задачи о ДР упрощается. В частности отпадает необходимость выбора частного решения среди многих решений дифференциального уравнения.

Расчет аксиально-симметричных f-колебаний в ДР в виде тел вращения произвольной формы с достаточно большим значением бд 40 методом интегрального уравнения приведен в работе [42].

Влияние отверстия в ДР на его частоты. Отверстие создается в ДР для разрежения спектра его частот вблизи основной частоты. Например, соосное отверстие в центре плоского цилиндрического ДР смещает частоту второго типа колебаний Ед вверх больше, чем частоту основного Яоц колебания.

Сдвиг собственных частот ДР из-за отверстия диаметром dg меньше 30 % большего размера ДР можно определить с достаточной точностью, воспользовавшись методом малых возмущений. Как известно, диэлектрическая неоднородность объемом AV с диэлектрической проницаемостью бн, включенная в объемный резонатор, изменяет его собственные частоты на величину

J [8о(8д-е )£*£в]й1

А / - .,---, (2.4)

f (е 8д£*£в + ofi*H) dV

где £ и £з - напряженность электрического поля невозмущенного и возмущенного резонаторов соответственно. В нашем случае возмущающим объемом является отверстие в ДР, заполненное воздухом (е = 1). Для малого возмущения можно принять, что Е w ftf Яв и при этом

(8д-1) JlW

28д gW

Для модели цилиндрического ДР с магнитными стенками на цилиндрических поверхностях сдвиг частоты основного типа колебаний описывается формулой

А / = 2 [Л (М + /о (РдА) - 2Jo (Pfl) ii фа)1Ы , (2.5)

которая получается подстановкой выражений для Е в формулу (2.4) с учетом Вд 1.

Сравнение результатов исследований сдвига основной частоты цилиндрического ДР из-за отверстия в нем и полученных по формуле (2.5) показывает, что эта формула дает ошибку не более 5 % при da < 0,7а.

В работе [47] показано, что выполнение сферической симметричной полости в сферическом ДР позволяет разредить спектр его резонансных частот так, что первый высший тип колебаний может отстоять по частоте от основного Я! типа колебаний на октаву и более.

Методика расчета ДР сложной формы. Резонансные частоты ДР сложной формы, например, крестообразных, или Т-образных, можно

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61