|
| |
|
Слаботочка Книги Остальные коэффициенты можно выразить через какой-либо один, воспользовавшись условиями на границах областей 2 -f 1) и 2 -f 1 для частот, близких собственным частотам системы. Потребуем, чтобы составляющие электромагнитного поля в областях 2 -f 1 (в виде суммы собственных волн этих областей) были равны заданным значениям касательного поля в областях 2 (к + 1) в виде одной собственной функции из выражения (4.1), соответствующей определенному типу колебаний системы. В результате получим Ulk+i (Zft) е = Ei2(k+\) (а, г, z); Ц Ulk+з (zk) i = £12(4-1-1) (а, г, zk); lik+i {Zk)h = Нi2(k+i) (а, г, Zk); S П,+з (Zk) (а, г, Z,), (4.18) е - { ft = ft = V ¥2+1; (4 19) Ei2(k+i); Hi2(k+\) - касательные составляющие электрического и магнитного полей в областях 2 {k + \) на их поперечных границах из формул (4.1), (4.4). Поскольку поперечные границы неоднородны вдоль радиуса в областях 2 ( -f 1) и поля в областях 2 {k -\- \) д и 2 (й -- 1) с описываются неодинаковыми функциями, применим усредненный энергетический метод сшивания полей на этих границах. Умножим скалярно первое уравнение системы (4.18) на е , а второе уравнение системы (4.18) на для колебаний типа ЕНпр и Еопр или соответственно на е и /г для колебаний типа НЕтпр и Нопр- Затем, проинтегрировав полученные уравнения по поперечному сечению Sj. экрана с учетом свойства ортогональности собственных функций и подставив в выражения (418) для и f выражения для £12(4-1-1) и Нi2(k+\) и выражения для и из формул (4.19), получим следующие равенства, связывающие амплитудные множители £2(-1-1), £24+1, коэффициенты ф2(А--1), /42(4+1) и собственные частоты с размерами и электрическими параметрами сред распространения рассматриваемой системы: £2(А-Ь1)Оя2(4-Ь1) cos (Pi2(*+l)Zj + ф2(4--1)) = £2(A-i-l)G 2(ft-t-l) sin (Pi2(A-i-l)Zft + ф2(*--1)) == = Elk+x [Л21е2*+* - е-Р4-ц4] E2(k+\)GE2{k+l) cos (Pi2(ft-i-l)Zft -f ф2(4+1)) = (4.20) E2(k+\)(jH2(k+l) sin (Pi2(ft+I)Zfe + ф2(А+1)) = = Elk+3 [Л+з/<*+з>* - Гз, где для ЯЯппр и Еопр колебаний G£2(A+1) = j ioft+i) (a. О-----H rdadr; (4.21) rdadr; + Яг2(А+1)(а, /)-;;:-- для HEmnp и Яо р колебаний 1 Щк+1 £2(4+1) si L Er2(k+i) (a, r)----Ea2{k+i) (a, ?) - 2fe+l rdadr. GH2ik+\) = I Si. I Яа2№+1)(а> r)---tL + Я;.2(А+1)(а, r)- 2ft+l rdadr. Для симметричных колебаний onp и Нопр можно записать Я2(А+1) / огСА+Цд . Оя2(А+1) Рг2(й+1) *B2(ft+l) Р22(А+1) <5в2(А+1) (4.22) Для получения характеристического уравнения, определяющего частоты собственных колебаний, воспользуемся первой парой уравнений (4.20) при Zk = zq. в результате деления второго уравнения этой пары на первое имеем tg(p22zo + Фа) = , .. . s- , - - , ns.. 1- (4-23) Asx ехр (Р,го) + ехр (- р,го) Выражения для фа, ф4 ...ф2(А+1) и Asi получаем из остальных уравнений (4.20) в виде Ф2(А+ ) = - P*2(ft+i)Zft-f arctg 1 + я2(А+1) -зал+з* *** + е j£2(ft+1) v 2ft+3 Q 2(ft+l) V> г5 fP2(*+l)* + 4>2(*+l)I Л.2*+1 =- + -e-+\ (4.24) Я2(А+1) l4*+l<5£2(*4-l) tg 1Рг2(А+1) * + Фаем-!)! Индекс s имеет два значения: h - для колебаний НЕтпр, Нопр и е-для колебаний ЕНтпр, Етр- Порядок определения коэффициентов из формул (4.24) следующий. Расчет начинается с k = N - 1 (N - число ДР). Сначала из выражения (4.17) для заданной частоты определяем An+i и подставляем найденную величину в выражение (4.24) вместо Лза+з. В результате получаем ф2/у. Затем подставляем ф2л? во вторую формулу (4.24) вместо ф2(4+1) и получаем Лгл?-!. Расчет повторяем для k = N - 2 и т, д. Расчет заканчивается определением фз. Частоты собственных колебаний системы Л ДР определяют решением системы из ЗУУ + 1 уравнений: Л уравнений типа (4.14) для областей 2 (/г + 1); уравнений типа (4.14) для областей 2 (k + + I) с, N уравнений типа (4.16) и уравнения (4.23). Алгоритм решения этой системы уравнений следующий. Задаемся диапазоном частот, в котором ищется решение. Из системы уравнений (4.16) и (4.14) для области 2 определяем волновое число Ргд при нижней частоте / заданного диапазона. Также определяются остальные числа p2(fe+i). Полученные значения подставляют в уравнение (4.23). Если уравнение (4.23) не выполняется, расчет выполняют для частоты / + А/ (А/ - заданное приращение) и т. д. Когда в левой части уравнения (4.23) функция меняет знак, приращение изменяется на А 10. Процесс вычисления заканчивается при том значении частоты, которое удовлетворяет уравнению (4.23). Существует бесконечный ряд частот, удовлетворяющих данной системе уравнений. В качестве примера приведем формулы для расчета частот системы из двух одинаковых ДР с Нтр типами колебаний, полученные из формул (4.16), (4.23) и (4.24) при N = 2. Рй tg (ф2 - М - Рг1 cth = 0; Ф2 = arctg РгЗ / ТРзз \сШ4-р,з/з/] где Рг1.з = Уф1 - (2n/lf е,); = V{2n/lf вд - p, здесь ll - расстояние от торцевой стенки экрана до ближайшего торца ДР; /а - толщина ДР; I3 - расстояние между ДР. Величина рд из формулы (4.14) находится из системы двух уравнений (первый корень для Hoip колебаний): Рд/(Рд) + РсСн(РсО = 0; P + P=(2яA)Meд-e,), л m л /(Pc)/Ci(PcO-/i(feO/Ci(Pc) . (Рд)==-Л(Рд)/Л(Рд)- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 |