|
| |
|
Слаботочка Книги функция m{t) является предельной плотностью для дискретных точек времени, в которых можно регистрировать отказ. Если эти точки равномерно расположены на оси времени (как это часто бывает в инженерной практике), то предельная плотность становится равномерной. Экспоиенциальпос распределение характеризуется тем, что именно для piero достигается наибольшее значение информации Н при условии, что первый момент для R{t) был зафиксирован. Это значение Я обозначено через Нх- Например, если известно среднее значение 7=а и нужно выбрать вид распределеиия вероятностей, то выбор экспоненциального распределения с параметром K-lja дает максимальнуро неопределенность относительно исхода испытания на надежность одного из объектов. Этот максимум составит Ял-=1о§2(Ле). (2.21) Более общая форма экспоненциального распределения связана с наличием положительного параметра сдвига Л, называемого гарантийным временем, В этом случае \ ехр[-Я( -Л)1, г=A Введение параметра гарантийного времени в модель отказов является достаточно общим приемом, который можно использовать для всех приведенных ранее моделей отказов. При наличии сдвига А среднее время безотказной работы равно Л-Ы/Л. 2.5.6. Гамма-распределение При /0 функция f (./) для гамма-распределения имеет вид (рис. 2.10) / (О = Я ехр (-ЯО/Г (/г), (2.22) где Г (/г)-гамма-функция, причем если -положительное целое число, то T{k){k-\)\, а соответствующее гамма-распределение сводится к распределению срланга. Если k - целое положительное число, то = 2 ехр(-Я/)(ЯО /!, 1 + ехр {-Ш) du (2.23) (2.24) (2.25) Распределение Эрланга является обобщением экспоненциального распределения, в чем можно убедиться, если рассмотреть k-e по счету событие, возникающее согласно процессу Пуассона или /z-кратную свертку показательного распределения 1\ В этом случае Г=/с/Я. Этот результат закономерен, так как можно было ожидать, что Т возрастет в k раз по сравнению с Т для экспоненциального распределения. Гамма-распределецие может встретиться на практике, когда отказ устройства вызывается появлением точно k ударов , каждый из которых возникает согласно процессу Пуассона с параметром X. Тогда функция R{t), определяющая вероят-  Рис. 2.10. Плотность вероятности для гамма-распределения. ность безотказной работы устройства, равна сумме вероятностей возникновения точно О, 1, 2, ... или k-1 ударов (соотношение (2.23)). Здесь X является параметром масштаба, а k - параметром формы. Если k-l, то гамма-распределение сводится к экспоненциальному Т. е. распределения суммы k независимых экспоненциально распределенных случайных величин. (Прим. ред.). > Иначе говоря, экспоненциальное распределение соответствует гамма-распределецню или распределенио Эрланга 9 одной фазой (2.26) (2.27) (2.28) %.i.f. Распределение бейбуллй В случае распределения Вейбулла (рис. 2.11) R{t)==exp{-{tlif}. Применимость этого распределения, полученного Всй-буллом Б 1939 г. на основе эмпирических данных, для описания большого разнообразия типов отказов была показана им же в 1951 г. Позднее это распределение было использовано для описания отказов вакуумных ламп и шаровых шарниров. Такое распределение может быть полезным всякий раз, когда отказ вызывается тем, что нагрузка превышает прочность в наиболее слабом месте или точке изделия. Распределение Вейбулла может быть выведено из асимптотического распределения вероятностей для наименьшего наблюдения (уровня прочности) из определенного семейства распределений (Гнеденко и др., 1969) Интенсивность отказов для распределения Вейбулла убывает во времени, если р<,1, возрастает, если р>1, и не зависит от времени, если р=1. При р=1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при Р=2 получаем распределения Рэлея. 2.5.8. Логарифмически нормальное распределение В этом случае (рис. 2.12)  Рис. 2.11. Плотность вероятности для распределения Вейбулла. - (logK -= 2а 2 1 /lo£f-> )1 (2.29) (2.30) где IX, о - положительные параметры. Б. В. Гнеденко теоретически показал, что это распределение является одним из возможных асимптотических распределений минимума п случайных величин. (Прим. ред.). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |