|
| |
|
Слаботочка Книги то можно существенно облегчить анализ надежности. Другими словами, надежность системы можно определить двумя составляющими: когда /-й блок хороший и когда у-й блок плохой , а затем эти ситуации взвесить с соответствующими вероятностями P{Xj) и Р{хз). Тогда анализ сводится к определению двух условных вероятностей. Теорема Байеса применима и тогда, когда переменные Xj принимают более двух возможных значений Г Sz 2.6.5. Пример Вместо того, чтобы абстрактно рассматривать более общие методы анализа, в качестве примера, на котором можно проверить применимость этих методов, используем структуру взаимодействия элементов, показанную на рис. 2.15. Блоки на рисунке обозначают секции систе-лы, склонные к отказам, связывающие линии предполагаются абсолютно надежными. Блок А может находиться в одном из двух состояний: состоянии надежной работы fi! и в состоянии отказа а. Для этих двух состояний имеем P(fl!)+>P(a)==l. Состояния других четырех блоков В, С, D, Е аналогично описываются двоичными переменными Ь, Ъ, с, ..., е, ё. Далее принимаем упрощающее допущение (часто не подтверждающееся иа практике), что состояния блоков статистически независимы. Пока существует по крайней мере один путь от Si к Зг, система связи нормально функционирует. Эта вероятность обо- Рйс. 2.15. Структурная схема анализа надежности для одной системы связи из двух радиорелейных станций Si и 2. В отечественной литературе такой метод называется методом разложения на основе известного правила разложения булевой функции по любой совокупности артументов. Разложение по одно-му аргменту имеет вид f{xi,..Xi,..., Xn)=Xif{Xi,1,..Хп) Vifii,--; О,.. Хп), где 1 и О стоят в правой части равенства в функции / на месте i-ro аргумента, а знак V имеет смысл логического сложения (объединения). {Прим. ред.). значена через Rs. Изложим три метода определения Rs Метод логических функций, Еслп число блоков мало, то событие нормальной работы системы (s) и событие отказа (s) можно выразить в виде булевой функции состояний этих блоков. Проверяя условие надежности работы, для этих событий получаем sr=.{a-\~{b-{c)d)e, (2.48) s==a(pc-\-d)e. (2.49) Эти соотношения можно также получить на основания теоремы де Моргана*). Теорема де Моргана устанавливает, что отрицание для булевой функции {s или s) получается отрицанием всех переменных и заменой функций И функциями ИЛИ и функций ИЛИ функциями И . Другими словами, отрицание некоторой булевой функции может быть получено последователь-ным использованием соотношений хухАгУ ЛУ = =ху. Надежность Rs системы, представленной схемой на рис. 2.15, можно выразить как 1-P{s) или как P(s), используя уравнения (2.32), (2.35) и (2.36), а также законы булевой алгебры 2). Если выражение для показателя надежности переписать в таком виде, чтобы оно содержало только условные и безусловные вероятности, принимающие известные значения, то определение надежности системы существенно упростится. Метод перебора состояний. Идея метода проста и сводится к перечислению всех возможных состояний, в которых может оказаться система. Эти состояния нужно определить так, чтобы они были взаимоисключающими и взаимодополняющими, т. е., другими словами, несовместными, составляющими полную группу событий. Эти состояния, или события, в совокупности составляют пространство состояний. Затем определяют те состояния, в которых система работает удовлетворительно, и для них подсчитывают соответствующие вероятности. Сумма таких вероятностей характеризует вероятность безотказной работы системы Rs. См. Ю. С. Шнханович. Введение в современную математику. М., Наука , 1965. См. там же. {Прим. пер.), - . 4-8Q7 49 Если перейти к примеру системы иа рис. 2.15, то станет ясно, что эта система может всегда находиться в одном из 32 состояний (2): £о = abcde, ~ abode, Е = abcde, Е = abcde. Е = abode, £g = abcdOr Е = abode, Е-= abode, Е=: abode, = abode, 28= abode. £5= abcde, Eg ~ abcde, E.. abode. abode, abcdl, E- abode, abode. Eg=abcde, Er= abode, E abcde, 2 = ЪЬсе, E = abode, abode, E= abode, abode, abode, Ejr= abode, Ej = abode, E= abode, = abode, E abode, Egi. Апализи- Эти состояния обозначены Ео, Ей . руя или проверяя условие надежной работы по этой диаграмме состояний, можно установить И состояний, в которых система исправна и 21 состояние отказа. Тогда Rs определится как RsP {Е,)-]-Р{Е,) +P(£J +Р (Яе) (s) + +Р(£, )+Р {EJ +Р ,)+P(£2o) J- (2.50) Применимость этого метода не ограничена ситуациями, в которых состояния блоков описываются двоичными величинами. Например, если каждый блок может находиться в одном и только одном из трех различных состояний, то система будет находиться в одном и только одном из 33=243 состояний. Эти состояния можно также перебрать: они будут взаимоисключающими и взаимодополняющими. К сожалению, число событий (состояний) для системы растет очень быстро с увеличением числа блоков п с ростом числа состояний у блоков. Пока проектировщик может как-то подойти к решению проблемы перечисления или перебора состояний системы, возможности применения этого простого и прямого метода пространства состояний сохраняются. Ряд вычислительных про-грам.м основан на этом принципе составления структурной схемы и применения затем метода перебора состояний для отыскания Rs (Тиллман и др., 1970; Зеленцов, 1970; Мизра, 1970). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [14] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |