|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 сматриваемых систем и Л-оо. Для простоты пусть система имеет структуру, показанную на рис. 2Л8,в В момент времени /==0 все систем находятся в состоянии So, т. е. No{t)=N при /=0. В момент времени t=t[i некоторые из систем будут находиться в других состояниях. Если Л велико и 0K{t)<oo, то число систем в каждом состоянии будет либо большим, либо равно нулю. Пусть Лб(о)-число систем, у которых блоки А и В отказали за время (О, to), а блок С по-прежнему исправен. За время {to, to+At) возможны две ситуации. 1. Каждая из систем, находящихся в состоянии 5б, с вероятностью Яб,7(о)Д переходит из состояния 5е в S-j. Полагая, что N~-oo, одновременно будем увеличивать Nbito) безгранично (если только .V6(o) не равно нулю). По закону больших чисел с вероятностью 1 число систем, находящихся в состоянии Se, которые на самом деле перейдут в 5?, стремится к N в (to) 6,4 {to) t. 2. Снсте?у1а может попасть в состояние Se за только одним из двух способов: перейдя либо из 5/, в Se, либо из S2 в Se- Из допущения I следует, что число систем, которые перейдут из S2 в Se за время fo, о+АО> стремится к 2 (4)2,6 (/о) А, а для перехода из S.v в Se имеем Nr{to)kifi{to)At. Следует определить, чему равно число систем в состоянии Sq в момент времени Uo-rAt), т. е. NG{to-\-At). Очевидно, что Лб(о+АО равно Лб(о) минус число систем, перешедших из состояния Se за Д, плюс число систем, попавших за At в Se. Другими словами, Л, {t, Н- At) ~ N, {t,) = [N, {t,) I,(О -Ь -Ь (О К.п (о) - (4) Я , (ЛД/. (2.77) Если обе части (2.77) разделить на NAt и использовать (2.75), то с(5б М -= Р. Q К.. {К)+Р. (S.> h) К. {Q - ~Л5з,дЯз,ЛО- (2.78) Рассуждая аналогично, можно вывести остальные семь дифференциальных уравнений первого порядка. Эти уравнения в матричной форме представлены на рис. 2.22. Начальное условие для /=0+ Яо(5в, 0+)=1, а остальные вероятности в этот момент равны нулю. Столбец матрицы, состоящий из восьми пулей, отражает тот
Рис. 2.22. Система восьми дифференциальных уравнепий первого порядка в матричной форме. факт, что любую восьмую вероятность можно найти из условия 2 (ьО = 1- Аналогичные рассуждения оста- ются справедливыми и для п состояний системы. Решение уравнений, приведенных на рис. 2.22, зависит от формы функций %j,k{t).
Рис. 2.23. Преобразование Лапласа для уравнения в матричной форме (см. рис. 2.22). Рассмотрим сначала случай, когда все интенсивности переходов не зависят от времени: ljk{t)-%jji для fO. Тогда можно воспользоваться методом преобразования ЛапласаОбозначим изображение по Лапласу для Pi{Si, t) через Li{p). Тогда для dPi{Su t) (dt имеем pLi{p)-Pi(Si, 0+). Матричное уравнение для изображений представлено на рис. 2.23. Pi{Su t) можно найти с помощью обратного преобразования Лапласа из Li(p). Все Pi{Su.t) будут иметь форму сумм и разностей Преобразован[[ем Лапласа Li{p) для распределения вероятностей Pi{Si, i) называется интеграл вида со Li {р) = f P(S;, t)e-ptdf, {Прим. ред). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [21] 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||