|
| |
|
Слаботочка Книги экспоненциальных уравнений >. Например, Р (5 , t) =:ехр { (Я , + Я + Я J t}. Если то оказывается возможным сохранить преимущества (в смысле простоты решений) линейных дифференциальных уравнений на интервале {tm-u tm)- Введение фиктивных состояний. Может оказаться, что Xj,k{t) имеет такой вид: (2.79) (z-i)!2 M)--h - В этом случае можно по-прежнему отдать предпочтение линейным дифференциальным уравнениям. Однако при этом приходится увеличивать число состояний за счет введения фиктивных состояний. Из-за этого матрицы системы уравнений увеличивают свой порядок. Пусть система описывается матричным уравнением приведенным на рис. 2.22, и все интенсивности переходов постоянны за исключением Ke.iit), имеющей вид что соответствует 1=3 для (2.79). Отметим, что данная система будет действовать одинаково в двух случаях. От Хс.7(0 зависит переход системы в vSy. Состояние 5б представляет фактически и состояния а5б, ь5б, с5б- Когда система переходит в состояние 5б, она фактически попадает в состояние ае-Интенсивность перехода для aSs постоянная и равна X. Когда система покидает состояние aSe, она может попасть только в состояние ь5б, для которого интенсивность перехода постоянна и равна X. Аналогично обстоит дело и с переходом из Se в се- Для состояний aSe, bSe и cSe имеем соответственно уравнения diaPAaS t))jdtP, (S,. ОЯ,., (О + -f Р. (S,. t) я,., {t)- л (aS.. t) Я. (2.80) d {bP, (bS t))ldt=aP, (a5e, f)X~bP, {bS t) X, (2.81) (cPs (cS t))/dt = ,P, (S . 0 я - cP, (б5,. t) X. (2.82) В случае системы линейных дифференциальных уравнений. {Прим. ред.). Теперь P{Sg,t) можно найти как сумму (5,= аР, (а5 . t) + bP, {bS t) -Ь cP, (cS t). Вместо одного состояния Sa теперь имеем три состоя- ния, т. е. два состояния являются фиктивными. Вместо одного дифференциального уравнения нужно решать три, но зато это линейные однородные дифференциальные уравнения. В общем случае системе нужно пройти через / состояний, характеризуемых постоянными интенсивностя-ми перехода л, чтобы перейти из /-го состояния в состояние с индексом k. Число фиктивных состояний будет при этом равно /-I. С физической точки зрения метод введения фиктивных состояний как бы используется в модели резервирования замещением, если имеется / одинаковых элементов с интенсивностью отказов %. В рассматриваемом примере блок С, отказывающий согласно уравнению для Яб,7, обусловливает переход системы из состояния 5е в 57. Другими словами, используя метод введения фиктивных состояний, блок С условно заменяют системой резервирования замещения, подобной системе на рис. 2.17. Переход из одного фиктивного состояния в другое, видимо, эквивалентен переключению с отказавшего на новый элемент. 2.7.3.2. Свертка распределений Теперь введем одно важное изменение- Будем считать, что допущение 1, указанное в п. 2.7.3.1, выполняется, но теперь Xj,h является функцией времени Tj, проведенного системой в состоянии Sj, но не зависит от момента времени /==/0. Такая модель представляет интерес в ряде случаев, например, при анализе нена-груженкого резервирования при замещении неодинаковыми резервными элементами. Допущение 3. Вероятность того, что система совершает переход из 5j в Su за интервал (о. U+dt), равна yjhdt, Xj\k является функцией 5j, Sh, %ь но не зависит от времени 4 и от способа, которым было достигнуто состояние Sj. Обратившись снова к примеру на рис. 2.19, покажем, как использовать модель свертки. Хотя переходы, указанные пунктирными линиями, и один переход, помеченный точками, в значительной степени маловероятны, все же учтем их в дальнейшем. в принципе, все восемь вероятностей для примера на рис. 2.19 определяются одинаково. Поэтому достаточно рассмотреть определение Рз{5з, t). Прежде всего, нужно перечислить все возможные способы, которыми система в люмент времени t может попасть в состояние Sj, для каждого способа определить вероятности попадания в это состояние (они, конечно, должны быть взаимоисключающими и взаимодополняющими), а затем просуммировать их; сумма будет равна Pj(Sj, t) или в данном случае Рз{3з, t). В момент -0 системы находятся в состоянии Sq. Существуют три различных способа перехода к моменту / в Ss. 1о-2-уз; Wos - система может про- вести время то.з в So, а затем за время (тго.з, хо,з+dt) перейти в S3 (что маловероятно); после попадания в состояние S3 ока остается там до момента времени t. Способ перехода Wo->i->s означает, что система может находиться To,i в состоянии S*, после чего перейти в Si, проведя там время Т1,з, перейти в S3 и оставаться там до момента времени 1 Аналогично рассматривается способ перехода lFo->2->s. Система может провести время Ти,2 в So, после чего перейти в S2, провести там время Т2,з и перейти в Ss, оставаясь там до момента времени t. Вероятности для этих способов перехода Wo-ts, o->i->-3, Wo2r3 обозначим через Роз(0 Poisit), А->2->з(0- Вначале определим Ро-з(0> являющуюся вероятностью сложного события, возникновение которого связано с тремя событиями. Первое из них - система останется в So ДО момента времени от. Вероятность этого события равна К (ос) = ехр - S Я .;(?)Ц. (2.83) 6 f=i ] Второе событие связано с переходом из So в S3 за время (от, (fv + dox) с соответствующей вероятностью Vs(ot)c?ot. Третье событие заключается в том, что система остается в S3 от момента от ДО t И в связи с допущением 3 эта вероятность равна sR{t-ot). Из рис. 2.19 видно, что из состояния S3 система .может перейти только в S7. Поэтому ,R{t~,z)=exp -Jx,.,i)d 1 (2.84) о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [22] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |