|
| |
|
Слаботочка Книги Для любого значения от (0<от</) три события, независимых статистически, реализуют способ перехода Wo3- Совместная вероятность этих трех событий является их произведением. Поэтому для РозЮ имеем о->з (f) = f Я L-) {t - 0-) Я .з (o-) 0- (2.85) Далее определим Pois{i), обозначая время, проведенное в состояниях 5о, 5i и 5з, как т, iT, оТ-it). Применяя (2.83), по аналогии с (2.84) получаем Я (i-) ехр (2.86) Вероятность sRit-it-от) для состояния Ss определяется на основании (2,84). Ро->1-з(0 определяется рекур-рентно с помощью (2.85). Если здесь время t считалось фиксированным, то далее можно рассмотреть ту же ситуацию при условии, что фиксированы / и от. В момент времени т система попадает в Si; какова же при этом условии вероятность Pi-s{t, от), т. е. вероятность того, что к моменту t система будет находиться в Sg? Эта вероятность находится аналогично вероятности Posit). Снова следует рассмотреть сложное событие, состоящее из трех статистически независимых событий. Для первого события, состоящего в том, что система должна пробыть время точно хт единиц в Si, вероятность с учетом допущения 3 равна iRUr). За интервал от (ot+it) до (oT-hnr+fiT) система переходит из Si в S3 с вероятностью Xi,3(iT)it. И, наконец, система должна оставаться в S3 с момента вре.мени (ot-j-ix) до t. Это последнее событие имеет вероятность sR(i-tft-if), определяемую с помощью (2.84). С учетом статистической независимости этих событий имеем ,->з (о- ) = f 1 (х) {t-o~ r) К .3 (i*) d.Zy (2.87) о что является вероятностью возникновения сложного события при условии, что система попадает в Si в момент времени оХ. Вероятность попадания системы в Si за время (от, ox-bdot) равна (от) Vi (от) от. Интегрируя по всем возможным о% от О до t, имеем 6 Уравнение (2.88) по форме совпадает с (2.85), если PiiK от) рассматривать как R(t-от). Вероятность Pciis{t) получается в форме интеграла свертки, если Pi-si, от) из (2.87) подставить в (2.88). Вероятность Ро 2.з(0 определяется аналогичным образом. Сложив три вероятности, получим &.<f -J =:о.з (О+ + P.2-,z (О- (2-89) Рассмотрим теперь некоторую систему, которая должна пройти через три состояния Sa, Зь, 5с перед тем, как в момент i она окажется в некотором нужном состоянии Sd- Введем снова четыре интервала времени аХ, 6Т, г,Т, (/-сХ-ЬГ-сТ) для ЭТИХ СОСТОЯНИЙ. БуДСМ поддерживать t, at, ьт фиксированными, а сТ изменять. Аналогично Pisi, ot) из (2.86) можно найти Pcdit, at, ьт), а после этого изменить bt и, поддерживая г и at фиксированными, определить Pb->c.-{t, at). Интегрируя по всем ъг, а затем по всем аТ, получаем Pa->b-*c-*d{t), имея в виду, ЧТО при определении Рь-с-аО, at) использована та же процедура, что и при определении Pfyi3{t), а зР(-ot-it) заменена на Pc-*d{t, at, bt). 2.7.3.3. Метод статистического моделирования Монте-Карло Когда надежность системы рассматривают как функцию времени, метод статистического моделирования может оказаться весьма потезным. Основная идея ЭТОГО метода сводится к имитации большого числа систем с целью выяснить, как и когда они изменяют свои . состояния. На основе накопленной информации по испытаниям и частотной интерпретации вероятности (2.75) можно оценить функцию Rs[i)- 2.в. ЗАМЕЧАНИЕ О ВЛИЯНИИ РЕМОНТА НА МОДЕЛЬ АНАЛИЗА Вопросы, связанные с обслуживанием и заменой критических деталей (Барлоу и Прошан, 1965; Гнеден-ко и др., 1969; Кокс, 1970), выходят за рамки данной книги. Однако в заключение гл. 2 отметим, что с мате- матической точки зрения ремонты влияют на модель анализа так же, как и отказы. Основное различие состоит в том, что события ремонтов будут приводить к обратным переходам на диаграмме рис. 2.19. Напри- . мер, если блок С отказал, то система переходит из So в Si, а если тот же блок С был отремонтирован, то система переходит из Si в So- Моделировать ремонт системы так же трудно, как и отказы. Модель ремонта на основе допущений I и 2 может быть марковской, в которой фигурируют как и]1тенсивности отказов, так и интенсивности ремонтов. Например, предполагая, что вероятность перехода нз-за ремонта остается одинаковой для любой системы, оказавшейся в определенном состоянии в определенный момент времени, и не зависит от того, сколько времени т система провела в этом СОСТОЯНИЙ (т. е. как много времени занял ремонт системы) и сколько времени она находилась в других состояниях, в математической модели надежности можно легко учесть и фактор ремонта. Рассмотрим, например, уравнение (2.78), описывающее изменение вероятности пребывания системы в состоянии Se во времени под влиянием отказов. Если принять, что интенсивность in,&{t) связана с обратным переходом из St в Se, а также учесть j.i6,2(0. Цб,4(0 Для переходов из Se в S2 и S4, то получим dPs (5 i,)ldf, = P, (S,. Q Я , (О + (S (t,)]- -Р. К) (Q -hi... (О Р. (S 0(о)- (2.90) Заметим, что число уравнений при этом не изменилось. Поэтому способы решения системы уравнений, приведенных на рис. 2.22, применимы и при учете факторов ремонта. 2.9. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ К АНАЛИЗУ НАДЕЖНОСТИ В данном параграфе на простом численном примере покажем, как методы теории графов могут облегчить формулировку и решение задач анализа надежности. Рассмотрим некоторую систему с интенсивностью отказов X{t): %{t)=m!{Xt-hl). (2.91) Пусть %={ г.-* и интенсивность ремонта составляет j.i=IOO г.~ а время измеряется в годах. Если данная система удовлетворяет требованиям технических усло- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [23] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |