|
| |
|
Слаботочка Книги Усложнения, связанные со статистической зависимостью входных переменных, не столь широко известны. Поэтому § 4.3 будет посвящен поясняющему примеру, а § 4.4 более подробному рассмотрению влияния статистической зависимости. 4.3. ПРИМЕР ВЛИЯНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ п ВХОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассмотрим электронный усилитель, в котором коэффициент усиления А зависит от величин двух сопротивлений Ru R2 A={R,+R2) iRi, i?i=20 Ом±10%, /?2=50 Ом±10%. Фактические значения Ri и i?2, измеренные в омах, обозначим через Xi и xz-Входные переменные Xi, Х2 имеют плотности вероятностей ifixi), 2/(:2) а также двумерную плотность 12!{хи Х2), как показано на рис. 4.4 и 2/(2) являются безусловными плотностями для 12/(:1, Х2)): J(x,)-l/4 для 18 <.;:.< 22. ,9. J {X,) О для X, < 18 и 22, J W ==1/100 для 450 < X, < 550 (4.10) JW=0 для л:2450 и Хг>550. Номинальное значение А составляет (20-Ь500)/20=26. Фактическое значение А (обозначенное через if) имеет плотность вероятности и распределение вероятно- стей уР{у)\ У={х,-{Х,)/х (4.11) yfiy)==d(yf{y))!dy. (4.12) Плотность вероятности yf{y) является функцией ufiXh Х2), что и иллюстрируется на рис. 4.4. Отметим, что шкалы для величин Xi и Х2 отличаются в 25 раз. Двумерная плотность равна нулю вне прямоугольника с координатами вершин (18, 450), (18, 550), (22, 550) и (22, 450). Самый простой способ нахождения J{y) сводится к вычислению уР{у) и дальнейшему использованию дифференцирования по у уР{у). Рассмотрим частное значение у=Уо {Уо<2в). Для определения уР{уо) проведем пунктирную линию в плоскости {Xi, Х2): 0==(Xi-fX2)/A:i Xi{yo-l)=X2. (4.13) Вероятность, соответствующая заштрихованному треугольнику в правом углу, составляет уР{уо). Далее рассмотрим случай у-уо, когда 26. Тогда уР{Уо\ определяется следующим образом. Снова проводим прямую согласно уравнению (4.13),которое сохраняет свою справедливость и в этом случае, но искомая вероятность соответствует незаштрихованной области h верхней части прямоугольника {\~уР{Уй)), т. е.
у¥{у)\-{У-у¥{у,)), 10 15 /лот .л а у\{у) находим дифференцированием функции уТ{у) по у. Определим у\{у) для трех различных функций \4{Х\, Хг), имеющих одномерные плотности, задаваемые соотношениями (4.9) и (4Л0). Три полученных результата показывают, насколько сильно статистическая связь между фактическими значениями Х\ и влияет на вид функции плотности для фактического коэффициента усиления j/f (). Нужно только иметь в виду, что Х\ и дг имеют средние квадр этические отклонения 2/]/ 3 и 50/1/3, а коэффициент лсорреляции определяется как Рис. 4.4. Двулгерное пространство входных параметров Х\ и имеющих гладкие функции плотности вероятности: все точки (дь Xj) на пунктирной линии представляют пары значений сопротивлений, для которых можно обеспечить коэффициент уснле-вия у. Д.3.1. Статистическая независимость Двумерная плотность в рассматриваемом случае равна J(.. .J J W,f W = (l/4)(l/100)== 1/400 и задана на прямоугольнике, представленном на рис. 4.4; р=0. уР{ц) находим после вычисления площади за- штрихованной части прямоугольника на рис. 4.4: 0, г/< 236/11. (121 (у - 1) - 4950 -{- 2257(г/-1))/200. 236/11 < г/<26; (5150 -275*/((/- 1) - 81 {у- 1))/200, 26</<284/9, 1, 28419 < у, (4.14) /< 236/11, (121 -225V(i/~l) )/200, 236/ll<i/<26, (2757(г/ - 1) - 81)/200. 26;<У.< 284/9, Фунй.ция плотности вероятности yf{y), соответствующая (4J5), представлена на рис. 4.5. Можно также найти функцию f{y) через определитель Якоби. В таком случае вводится новая переменная w=w{Xi, Xfi) и осу-ш.ествляется переход от {хи Х2) к {у, w). Для простоты положим, что w~ =Х2. Тогда прямоугольник на рис. 4.4 трансформируется в трапецию на рис. 4.6 согласно преобразованию y=\-bX2fXu W=X2. (4.16) 0,20 0,10 0,08i 0,05 284/9 < у. Шшчиыи иилулш b26;0,Z00} Z7Lj
50 ♦ g Рис. 4.5. Функция плотности вероятности при трех значе-HjfHx коэффициента корреляции: р=0 (уравнение (4.15)); p=i-(уравнение (4.27)); р= + 1. Определитель Якоби или можно записать как якобиан преобразования / {х Ад= dXj dXi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [33] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |
|||||||||||||||||||||||||||