|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 (4.17) Двумерная плотность, определенная на трапеции трансформированных переменных, равна ywfiy. )-=-ш. ywfiy. w) = (4.18) 400 (у-1)2  Рис. 4.6. Преобразованное распределение вероятностей. где у] [у) -одномерная безусловная плотность вероятности для xjicfiy, йУ); ее можно получить интегрирование.м по области изменения w при фиксированных значениях у: 22 (7-1) . уНу)= 55gt 400 (Г/-7? -121 - J, )У 200, И :y<26. (4.19) yfiy)- 1 400 ()2 26<y- V-Sl) /200, (y-iy (4.20) Эти результаты можно проверить с помощью уравнения (4.15). 4.3.2. Случай, когда коэффициент корреляции р=--1 Когда р=--1, плотность вероятности равномерна на отрезке прямой на рис. 4.4; этот отрезок связывает то-ки с координатами (18, 450) и (22, 550). Аналогично на рис. 4.6 плотность вероятности равномерна на прямой, соединяющей точки с координатами (26,450) и (26,550). Таким образом, yf{y) принимает вид единичного импульса при =26: уР{у)0, г/<26, 21) y/:(f/)=i/ ---26. 4.3.3. Случай, когда коэффициент корреляции р==-1 Когда р=-1, плотность вероятности равномерна на отрезке прямой, соединяющей на рис. 4.4 точки с координатами (22, 450) и (18, 550), его длина ]/Т0016; уравнение линии нмеет вид 25хН-л;2=1000. (4.22) Как обычно, yf(y) определяют через уР{у). Плотность вероятности равномерна по длине отрезка и, следова-тел:ьно, равна 1/) 10 016. Для у=уо линия, описываемая уравнением (4.13), пересекает этот отрезок в точке с координатами , . f 1000 1000 / .л Расстояние от этой точки до точки с координатами (22, 450) обозначаем через dr, оно равно (if!!H-22) /бЖ (4.23) Ясно, что ур{y~dp}\/\Q\. Подставив у вместоУ/р, получаем искомые выражения 0. г/< 236/11, 11 250 236 284 2 24+г/ 11 9 (4.24) 1 284 . 250/(24 + )*, <i/<* , ,Пу)\ л 236 284 0. у<у>~ (4.25) На рис. 4.6 плотность вероятности задана на дуге ветви гиперболы ( Ч-24) (1000-ау) =25 ООО (4.26) с крайними точками 450 и 550j . Уравне- ние (4.26) получается из уравнений (4.16) и (4.13) исключением переменных Xi и х. 4.3.4. Сравнение трех функций плотности Теперь можно сравнить функции yf{y)y соответствующие р=0, р= + 1 и р=-1 (см. рис. 4.5). Без сомнения, желательно иметь значение у, близкое к номинальному значению коэффициента усиления, равному 26. Из рис. 4,5 видно, что положительная корреляция между Xi и Х2 в этом отношении полезна. На самом деле, для р=--1 всегда у~26, независимо от возможных изменений фактических значений Xi и Х2. Если значения у между 23,5 и 28,5 приемлемы, то такие значения можно ожидать с вероятностью 3/4 (т. е. вероятность такого уровня качества в начальный момент времени составит 75%) при р=0, но с вероятностью только 200/399 (та же вероятность начального качества около 50%) можно ожидать этих значений при р=-1. Из этого простого примера видно, как статистические связи между входными переменными могут изменять распределения выходных переменных, а также, насколько неоправданными могут быть предположения о статистической независимости. 4.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ЗАДАННЫМИ БЕЗУСЛОВНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ Пример § 4.3 иллюстрирует усложнения, которые возникают в тех случаях, когда для п входных переменных нужно иметь многомерное распределение вероятностей, а в наличии имеется только информация о п безусловных распределениях. Как же, если заданы многомерное распределение вероятностей и все безусловные распределения, найти другие многомерные распределения, с теми же безусловными распределениями? Ответ сводится примерно к следующему. Все многомерные распределения вероятностей, имеющие заданный набор безусловных распределений, получают повторным 110 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |