|
| |
|
Слаботочка Книги применением некоторого б-преобразования к произведению безусловных распределений вероятностей; это б-пре-образование описано в п. 4.4.2. Практическая ценность такого подхода состоит в том, что удается определить в некотором смысле наилучшие и наихудшие многомерные pacпpeдeлeния) для установленного набора безусловных распределений. Зная эти крайние многомерные распределения вероятностей, проектировщик может ограничиться интересующими, его переменными.. Два соответствующих примера приведены в пп. 4.4.5 и 4.4.6. 4.4.1. Некоторые допущения Допустим, что некоторый эксперимент повторен много раз; в конце каждого эксперимента измерены значения п параметров л:--, /=1, /г, схемы. Для примера, приведенного в § 4.2, такой эксперимент мог состоять в измерении фактических значений двух сопротивлений Хх и Х2 усилителя, являющегося продукцией массового производства. Совокупность п параметров обозначена через х= (1, ...,Xj,...,Xn). Примем ослабляющее допущение, что Xj принимает всегда одно из tij дискретных фиксированных значений; это предположение удовлетворяется на практике ввиду дискретного характера измерений и ограниченной области результатов измерения, полученных с помощью измерительной аппаратуры (в частности, омметра). Следовательно, этот эксперимент (если судить по значениям параметров), может иметь не более чем рП-П\П2 ... tij ... Пп . (4.27) различных результатов, каждый из которых может быть проиллюстрирован точкой решетки в л-мерном пространстве измерений. Каждой точке соответствует относительная частота конкретного результата эксперимента. Считаем, что многомерное распределение вероятностей для X }=f(x) может быть оценено на основании этих отног сительных частот. Подобная предпосылка широко используется в технике. Второе ослабляющее допущение состоит в том, что каждое из п дискретных значений вероятностей, соответствующих распределению f, представляет совокупность малых вероятностей д. Это допущение удовлетво- Например, доставляющие максимум или минимум показателю надежности конкретной схемы. {Прим. пер.). ряется конечной точностью измерительных и вычислительных устройств. Совместное распределение f имеет п безусловных дискретных распределений; они обозначены как i/=i/(;;i), jf=3f(Xj), nf=nf{Xn); jf состоит из ftj вероятностей, равных в сумме единице. Произведение п безусловны i вероятностей обозначается через fp; fp является многомерным распределением, которое -соответствует статистической независимости jf, /=1, л. В п. 4,4.2-4.4.4 как х, так и / считаются дискретными, в п. 4.4.5 - непрерывными. 4.4.2. 6-преобразование для распределения вероятностей Рассмотрим две точки решетки: Pi= {ai, .,., cLn), P2{cii + bu .... Cj-i-bj, an-\-bn); зти два значения наблюдаются с вероятностями Bi и 62. Пусть 0 принимает значение между нулем и наименьшим из 0i и 02. б-яреобразование состоит в перемещении 0 единиц массы вероятности из точки решетки Pi в точку Р и одновременном перемещении G единиц массы вероятности из точки решетки Р2 в точку Р. Положение точек Р- и Р4 определяют следующим образом: п координат для Рг получают, используя некоторые значения координат Pi и Р2; Xi-ai или Xiai--bi, Х2=а2 или д:2=:й2+ + 2, Xj=aj или Xj=aj-{-bj. Те значения координат, которые не используются для Р, используются для Ра. Для примера рассмотрим случай, когда /х=3. Р& может иметь координаты {ai, а2, оз+з). а Рл тогда имеет координаты (й1 + Ьь 2+2 CLz), б-преобразование оставляет без изменения п безусловных распределений, так =как вероятности того, что Xj=aj, yf{aj) или Xj=aj + bj, т. е. ifictj+bj), не изменяются. Читатель может проверить справедливость этого утверждения для п=2. 4.4.3. Одно у/верждение Здесь совместные распределения состоят из набора дискретных вероятностей. Такие распределения будем называть допустимыми. Совокупность п безусловных распределений называем допустимой, так как все безусловные распределения состоят из дискретных вероятностей, fp является допустимым совместным распреде-112 леиием как произведение п членов допустимой совокупности безусловных распределений. Допустимая последовательность совместных распределений является последовательностью совместных распределений 7, 2/, ..., каждое из которых получается из предыдущего с помощью 6-преобразования. Когда и рП (определено в (4.27)), и малая вероятность <7 > заданы, число возможных допустимых совместных распределений, очевидно, ограничено. Можно сформулировать следующее утверждение (Беккер, 1970). Пусть f является дискретным допустимым совместным распределением с безусловными распределениями i/, ..., f. Тогда существует по меньшей мере одна конечная допустимая последовательность совместных распределений, которая начинается с /р и заканчивается распределением /. Важность зтого утверждения состоит в том, что оно гарантирует от промежуточного использования, начиная с /р, недопустимого совместного распределения в методике 9-преобразования. Сформулированное утверждение не указывает, однако, как найти многомерное распределение, которое в наибольшей степени обладает некоторым свойством. Оно устанавливает лишь, что необходимое многомерное распределение можно получить из fp с помощью конечного числа шагов, связанных с применением 0-преобра-зования, на каждом из которых одно допустимое распределение вероятностей преобразуется к другому. 4.4.4. Случай непрерывных распределений вероятностей Если / является многомерной плотностью вероятности, то ситуация несколько изменяется. Как и ранее, имеется п безусловных распределений (плотностей) и их произведение f-p. Теперь Э-преобразование приобретает такую форму. Четыре точки Ри Р2, Ръ> Ра выбирают так, как указано в п. 4.4.2. В каждой точке одинаковым образом размещают идентичные /г-мерные многогранники Оъ О2, Оз, О4, у которых грани перпендикулярны осям. Переопределим Э-преобразование как некоторую непрерывную функцию, заданную на многограннике. Если заменить на {f-0) внутри Oi и О2 и на (/-ЬО) внут- р, п и д используются при переходе от непрерывной модели эксперимента к дискретной. {Прим. пер.). 8-897 113 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |