|
| |
|
Слаботочка Книги ри Оз и О4, to безусловные плотности вероятности сохраняются без изменений. Если (*/-6) внутри Oi и О2 и (/+6) внутри Оз и О4 являются неотрицательными функциями, то 9-преобразование является допустимым. Основное различие между .непрерывным и дискретным случаями б-преобразования состоит в том, что при условии непрерывности распределений нет гарантии, что конечное число шагов использования б-преобразования дает возможность перейти от fp к f, как сформулировано в п. 4.4.3. Два примера в пп. 4.4.5 и 4.4.6 иллюстрируют случаи, когда плотности вероятности и дискретные распределения видоизменяются с помощью последователь-иости допустимых 6-преобразований. 8 \С Л) 4.4.5. Надежность двух резисторов, соединенных последовательно Если фактические значения сопротивлений резисторов равны Х] и д:2, а номинальные значения у обоих составляют то в пределах от R-А/2 до R-\-Al2 Xi и Х2 имеют равномерные плотности вероятности if{xi)=2f= =2[(Х2)~1/А, а вне этих пределов J и 2/ равны нулю. Информация о if и 2/ получена в результате экспериментов, связанных с измерением сопротивлений случайно выбранных резисторов. В данном случае п=2, х= = ixi, X2)t f-равна нулю вне квадрата ADGJ на рис. 4.7. Возникает вопрос о том, какая из двумерных плотностей вероятности, имеющих безусловные плотности 1/ и 2f, будет минимизировать показатель надежности Q? Начнем с плотности вероятности/р=]/2/, для которой двумерная плотность равна 1/Д на квадрате ADGJ (см. рис. 4.7), а показатель надежности Q=8/9. Применив последовательность б-преобразований к fp, каждое из которых уменьшает Q, получим минимум для Q. Эта процедура описана в п. 4.4.4. f?-/i/2 R Ш x/ Рис. 4.7. Двумерная плотность вероятности для фактических значений двух последовательно соединенных резисторов Xi и х. На первых трех шагах б-преобразования прямоугольные многогранники являются квадратами со стороной Д/3; используется значение е = 1/А, и это приводит к тому, что /р-Ь9=2/А2, а fp-9=0. Эти шаги следующие: 1) вероятностная масса , сосредоточенная в области LMPKL, перемещается в область MNOPM, в то же время вероятностная масса из Р0Н1Р перемещается в KPIJK, причем Q уменьшается при этом до 5/6; 2) вероятностная масса из области BCNMB перемещается в CDENC, а из области NEFON - в область MNOPM; показатель Q уменьшается до 7/9; 3) вероятностная масса из области ABMLA перемещается в CDENC, а из области OFGHO - в область KPIJK. Плотность равна З/Д на квадратах CDENC, MNOPM, KPUK и нулю на всех остальных нтести малых квадратах; Q снижается до 2/3. Можно получить то же самое значение Q-2/3 к с многими другими плотностями, т. е. если вся вероятностная масса равномерно распределена на диагонали ID, то Q будет также равна 2/3, Плотности вероятности, соответствующие Q в пределах, близких 2/3, соответсг-втот сильной положительной корреляции между Xi и Х2, такая сильная положительная корреляция хорошо согласуется с практическими условиями функционирования элементов интегральных схем. Если нужно принять в расчет некоторые вырожденные формы плотностей вероятности, то, начав с найденного /-распределения, за бесконечное число шагов е-преобразования вероятностную массу из области KPIJK перемещают на диагональ KI, а вероятностную массу из области CDENC - на диагональ СЕ. Согласно техническим требованиям точки на СЕ и KI иллюстрируют недопустимые значения Х1+Х2; это означает, что в таком случае Q=l/3. Интересно, что эта плотность обеспечивает глобальный минимум Q, в чем можно легко непосредственно удостовериться. В данном примере использована идея о том, что схемные ограничения (для двух последовательно соединенных резисторов) можно представить областью в пространстве {хи Х2) (т. е. шестиугольником ACEGIKA). Точка {хи ла), которая определяет фактическую рабочую точку схемы, должна попасть в эту область тогда и только тогда, когда схема работает удовлетворительно. Идея этого преобразования может быть также исполь- 8 115 зовапа и ггри анализе более слол<ных схем, рассмотренных в приложении 5. Применение 6-преобразования для определения минимума показателя надежности имеет большие ттотбнциальные возможности, чем это оказалось в примере двух последовательных резисторов. 4.4.6. Двухдиодные схемы с избыточностью В качестве второго примера рассмотрим элемент, который может отказать по двум причинам, причем надежность желательно повысить с помощью введения избыточности. Рассмотрим диод, на который воздействуют условия окружающей среды в течение установленного времени, например, от /=0 до t=to. Предположим, из опыта известно, что рс-0,7; рс - показатель надежности диода, R (to) - вероятность того, что диод по-прежнему функционирует правильно в момент t=tG. Кроме того, предполагаем, что в момент t=fQ диод будет иметь отказ типа короткое замыкание с вероятностью рв=0,2 и отказ типа обрыв с вероятностью /?о=0,1. Два последних типа отказов являются внезаш]ыми. Эти три состояния исключают друг друга и представляют все возможные состояния диода в момент времени i==to. Избыточность типа параллельное соединение элементов . Вместо одного диода можно рассмотреть два диода Ml и Д2, включенных параллельно. Если один диод имеет обрыв, то другой будет по-прежнему работать удовлетворительно. С другой стороны, -если один из двух диодов замкнется накоротко, то и параллельное соединение будет замкнутым накоротко. Каков же будет выигрыш, если использовать параллельное соединение двух диодов, характеризуемых таким вектором показателей надежности {рс, ps, Ро) = {0,7, 0,2, 0,1)? Для ответа на этот вопрос обратимся к табл. на рис. 4.8,а, где показаны девять возможных состояний пары диодов. Три квадрата, представляющие условно состояния, в которых параллельное соединение диодов функционирует удовлетворительно, обведены жирными линиями. Если состояния диодов статистически независимы, то 9 значений совместных вероятностей указаны в верхней части каждого из 9 квадратов. Параллельное соединение будет иметь уровень надежности, равный 49%+77о+7%=637о, что меньше рс=70% или уровня надежности одного диода. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |