|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 ние существует Й что все параметры элементов заданЫ их номинальными значениями и функциями плотности вероятности. Вероятность исправной работы в начальный момент времени вычисляется для определенного рабочего состояния, внешние входные переменные могут быть интерпретированы как изменяющиеся параметры элементов. 5.2. НОРМАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЫХОДНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Пусть r/i(xi, Х2, ..., Хп), 1=, 2, ..., т, представляют выходные функции от входных переменных. Разлагая любую из них в окрестности точки возможного решения ( 10, Х20, Хпо) е ряд Тейлора, получаем аналитическое выражение для этой функции в окрестис?сти точю-решения. Пусть у является одной из выходных переменных. Тогда, используя частные производные, получаем у{х х; ...,.>: )= (iX - xJ-f (5.1) причем все производные вычисляются в точке (Хь ... Xn) = {xiQ, Хпо). Предполагая, что fXi=£(Xi) = =л:го, считая (ДХг)*= (Хг-lu) и ограничиваясь только членами первого и второго порядка (-=2), можно записать где частные производные вычисляются в точке решения задачи проектирования. Так как выходная переменная редко задана в замкнутой форме, то производные оценивают численными методами, т. е. вычисляют отношения конечных приращений вместо самих производных. Для упрощения обозначений положим, что У (-i. х.....a;J = а4- bilsxi + п п п Если пренебречь членами второго порядка, тс для выходной переменной получим линейное соотношение У{Х Х, .. , Х ) = 0 + 2 ) 1==.! Для среднего значения у имеем Е{у)=а. Если все £ (Дд;) = О, то обычно справедливо, дисперсия у составит var() = o=r2Vi + 22 2 bibj COY (xtXj), где ог - дисперсия t-й входной переменной; cov (хи Xj) - ковариация Х{ и Xj. Выражения для среднего и дисперсии получены разложением в ряд Тейлора (этот метод в литературе иногда называют методом моментов) (Клетцнер, 1965). Предположим, что входные переменные некоррелнро-ваны. Если все входные переменные имеют нормальное распределение вероятностей, то и плотность вероятности для у будет нормальной со средним значением Е{у)=а И дисперсией var(y) = 2 bii. Вероятность попаданиям/ в заданные пределы может быть тогда лепко найдена с помощью таблиц нормального распределения. Использование нормального распределения вместо распределения другого типа (также однозначно определяемого средним и дисперсией) является консервативным в следующем смысле. Нормальное распределение является распределением вероятностей, у которого для заданных Среднего и дисперсии максимальна неопределенность, связанная с фактическими значениями величины х. К этому вопросу вернемся в § 6.3. Теперь же рассмотрим общий случай, когда п входных переменных коррелированы и когда имеется уравнение, аналогичное уравнению (5.4) по каждой из т выходных переменных: ,/72. (5.5) В принципе, можно найти совместную плотность imf{y\, ..., Ут) для выходных переменных, когда известна совместная плотность шЦхи ..., Хп) для входных переменных. Так как рассматривается только случай п>т, вначале вводят п-т фиктивных выходных переменных г/т+ь Уп, определенных уравнениями, подобными (5.5). Следует помнить, что то же самое делалось в п. 4.3.1, когда вводилась неременная w в уравнение (4.16), чтобы приравнять число выходных переменных числу входных переменных. Затем составляют Якобиан /, являющийся определителем л-го порядка;
:5.б) (5.7) Теперь можно определить совместную плотность вероятности ыЦуи Уп)=ы!{х1, дг ) . (5.8) Желаемая форма совместной плотности вероятности может быть получена интегрированием по п-m фиктивным выходным переменным: со X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 [38] 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |