|
| |
|
Слаботочка Книги ОТТОЧКИ (1,1) к точке (Фь Ф2) из-за изменений на входе есть сумма отклонений, связанных с изменениями по Ф1 от (1,1) до (Фь 1) и с изменениями по Фа от (1, 1) до (1>Ф2),т. е. 1У{У{<. i))-b(i(b I)). (5.20) Такое предположение справедливо для малых изменений входных переменных, когда поверхность Дг/ дифференцируема в окрестности точки (1, 1, 0) и учитываются только члены разложения первого порядка. Оно также справедливо, когда учитываются и члены второго порядка, а все смешанные производные второго порядка равны нулю. Вообпде говоря, это предположение справедливо всегда, когда tsy является суммой функций, зависящих от Ф1 и Фо, т. е. Д =(Ф,) + --/г(ф*2). Опыт подобных расчетов показывает, что указанное предположение справедливо во многих практических случаях. Следующий шаг состоит в определении дискретного распределения P(At/) для величины Д /, определяемой согласно (5.19). Когда х\ и статистически независимы, Дм/1 и А(2 также будут независимыми случайными величинами, а поэтому распределение вероятностен для Дг/ можно найти как свертку соответствующих распределений. Любая из двух следующих формул является выражением для свертки в непрерывном случае: со со -00 -со (5.21) Вычисление свертки функций f и f, достаточно сложно, в то jipemn как с помощью дискретных распределений при равных приращениях Д для Ауг и Ауг его 9-897 129  Рфдг) Ofikiio;i\, \гтг) Рнс. 5.4. Вычисление д (й /2) и выполнить значительно проще. Операция свертки идеально приспособлена для реализации на ЭВМ. Идея представления Ау с шагом дискретности А может показаться тривиальной, но в результате такого подхода операция свертки распределений становится практически осуществимой для больших значений п. Введение шага для -нескольких выходных переменных (т>1) будет рассмотрено далее. В дискретном случае для свертки справедливы такие выражения: Р{Ау)Р {г)Р {Ау-2), (5.22) Интерпретация сумм такого типа может быть л)чше всего воспринята с помощью матрицы совместных вероятностей, представленной на рис. 5.5, Например, совместная вероятность Рп на рис. 5.5 является произведе- ний -ЗА -2Л -А РкгШ---- О Pki(O) -й Pki(-A) Р(лу} PZ1ZZ23 24 P2S 26 PS2 % Р35 PjS Р(-М}  Р(-5Л) Р(-2Л) Р(-й) -ЗА -2А -А Аути Р(0) Р(А) Р(2А] Р(ЗА) О & 2й ЗА Аутах Рис. 5.5. Матрица совместных вероятностей. нием Pfei И Ph2 - вероятностей того, что k\=\ и 2=-3, т. е. вероятностей того, что Ai/i=A, а А2=-ЗА, Это означает, что Ау=А-ЗА--2А. Другие комбинации Ау1 и Ауцу дающие в результате Ау--2А, следующие: Аг/1=0, А£/2=-2А; Ayi=-A, Д /2=-А. Никаких иных комбинаций Ayi и Ау2 для ненулевых значений Ры и P112 не существует, и поэтому вероятность того, что Ау~ =-2А, равна сумме трех вероятностей: P( 2A)=Pii-f-P22 + 33- Другие вероятности Р{Ау) -находятся аналогично. Легко видеть, что суммируются вероятности, являющиеся диагональными элементами матрицы на рис. 5.5. Вероятность того, что АуттАуАутах, определяется как сумма вероятностей Р(Дг/), заданных между этими крайними точками. Желаемая степень точности может быть достигнута уменьшением шага дискретности А. Для значений Phi и Рдг, приведенных на рис. 5.3 и 5.4, значения вероятностей представлены на рис. 5.6. -A3 -гл -А OA 2й Зй Чй 5й 6А 7й est 0,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,15 0,13 0,1i 0,02 0,10 D 0,74 -Л 0,16 ЩОЗЧО 0,0160 0,ООСО 0,СОХ OfiuOO 0,0000 ЦВ090 0,0150 0,01300,0110 0,0020 \  0,2516 0,1т 0,0000 0,0000 0,00д0 0,0000 0,0666 0,1110 0,0562 ДД?/* С,ОМ О, osw0256ohomoсооооот2<оштозг  0,6544 0,2772 0,1524 0,0160 0,0000 0,0000 0,0144 0,0906 D.im 0,1288 0,0976 0,02580,0020 -9(d -ЗА ~гй -А О А 2А ЗА 4Л 5Л 6А 7А 8А Рис. 5.6. Свертка двух дискретных распределений, 5.3.1.3. Случай одной выходной и п входных переменных *) Решение такой задачи, часто возникающей на практике, является обобщением предыдущих результатов для двух входных переменных. Теперь А определяется как Ау=у{Ф1.....Фп)--у{и -.., 1). (5.23) Все допущения, сделанные ранее, конечно, должны быть выполнены. С вычислительной точки зрения дискретная аппроксимация дает преимущество в том, что результат свертки для двух переменных в нижней строке матрицы на рис. 5.5 получается в форме, пригодной для последующего свертывания с третьей переменной (т. е. форма Р{Ау) та же, что и для Рп2) и т. д. Повторяющийся характер вычислительных операций облегчает программирование этого процесса для ЭВМ. Число необходимых схемных оценок - важный фактор при расчетах надеж- Вы.чоАыая переменная является уже зависимой. {Прим. пер.). 9* 131 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |