|
| |
|
Слаботочка Книги то задача сведется к вычислению математического ожидания V{x) при условии, что f{x) задана для х в форме равномерного распределения на интервале {а, Ь). Дисперсия для V{x) равна var (У{х)) = а\ J (X) f (х) dx - (5.53) и соответственно оценка 1 имеет дисперсию var {Щ = o j = oV/- (-S) Упомянутую процедуру будем условно называть грубым или прямым методом Монте-Карло. Если оценить W, учитывая важность выборочного наблюдения, то вначале нужно определить новую плотность BepOHTKOqTH J{x), которая должна принимать нулевое значение всякий раз, когда /(а-)==0 (т. е. когда х<а и х>Ь), Затем вводим функцию gix): Цх)0, Используя плотность вероятности f{x), убеждаемся, что математическое ожидание V{x)ig{x) как усреднение V{x) по f(x) равно математическому ожиданию У{>)1ё{х), так как 1Ш (.x:)dx= (л) f {X) dx. Если теперь вычислить W по методу статистического моделирования Монте-Карло, используя функцию V{x)}g{x),TO причем х являются случайными числами, полученными на основе распределения вероятностей f(x). Дисперсия 156 этой оценки составит В зависимости от выбора f4x) эта дисперсия может принимать значения от О до оо. Если, в частности, причем g(x)=V(x)IW, то ==WV{x)f{x)dX-W=-. (5.57) Этот случай возможен только теоретически, так как предполагается знание значения W, которое является точным значением оцениваемого параметра. Однако он показывает, что уменьшение дисперсии оценки возможно за счет продуманного выбора формы функции j{x). В данном примере плотность вероятности t{x) могла быть весовой функцией параметров элементов. Пусть вероятность неудачи (1 минус вероятность успеха) обозначена через q=W. Пусть для каждой реализации процесса моделирования У 1-для отказа схемы (браковки схемы), \X, Xt .. Ад) о для приият[М схемы (успеха испытаний). Плотность вероятности равна / {г* \.....-п) = 7 W 7W ... / W ДЛЯ независимых переменных хи а взвешенная плотность вероятности составит X,.....-J=VW-T(.)..- /W при каждом моделирующем испытании Xi извлекается из совокупности, представляющей п, генеральных совокупностей с плотностями вероятности {Xi). Оцен- ка вероятности отказа или браковки схемы тогда составит Если взвешивание плотностей вероятности для элементов проведено надлежащим образом, то дисперсия оценки уменьшается по сравнению с дисперсией для грубого или прямого метода Монте-Карло. Однако трудно сказать, насколько точнее будет эта оценка. В случаях недостаточного подбора /-функций можно получить даже худшие оценки, т. е. оценки с большими дисперсиями, чем при прямом использовании схемы Монте-Карло. 5.5.3.2. Пример оценки искомой вероятности с учетом важности наблюдений Вернемся к п. 4.3.1 и рассмотрим такую задачу: для заданных на рис. 4.4 безусловных распределений и на основе статистической независимости определить вероятность того, что 23,5<г/<28,5. На основании проведенных в п. 4.3.4 расчетов известно, что эта вероятность равна 75%. Теперь попытаемся оценить этот показатель дважды: с помощью прямого использования схемы Монте-Карло, а затем модифицированного выборочного метода, учитывающего важность наблюдений. В обоих случаях наилучшая оценка дает правильный результат, т. е. 75%, но при втором подходе получится меньшая дисперсия, означающая более узкий доверительный интервал. Используя рис. 5,20, найдем вероятность того, что значение у удовлетворяет ограничениям 23,5<у< <28,5. Это соответствует тому, что комбинация значений (хи Хг) попадает в шестиугольник ICDFHI; согласно предположению Х\ и Хг статистически независимы. У можно интерпретировать как отношение площадей шестиугольника JCDFHI и прямоугольника BDGI. Прялше использование метода Монте-Карло. В этом случае не используют никакую априорную информацию о форме области, для которой 23,5<<28,5. Каждый 158 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |