|
| |
|
Слаботочка Книги Таблица 6.6 Вероятности исходов моделирования в общем случае: е=рК5у(1 су)бг(1-ьу)
Теперь можно определить при использовании коррелированных выборок. Обращаясь к табл. 5.6, видим, что четыре совместных события ЛВ, АВ, Ав и АВ имеют вероятности УУ, {{-У), °У(1-у) и (1-°У)(1~У), если -х и х иекоррелированы (р=0). Когда д: и х коррелированы и коэффициент корреляции равен ро, то нужно использовать вероятности [УУ-Ьв [ У(1-ьу)-е], [(1-У)ьу-е] и [(i- У)(1-ьу)+э Из табл. 5.6 видно, что E{°Xx}=°-YYСоотнощение между ро и 9 устанавливаем на основе определения ковариации COV Х) р ,/ У(1-ау)бу(1 Ьу) =Е {сх- У) - У)}=Л { л*4-°уьу= т. е. е = р ]/ У(1 - аУ) &У(1 ьг). (5.62) Определяя разность °У-У, из оценки Р{ЛВ) = = [(1-ЬУ)У-0] вычитаем оценку Р{АВ). В результате имеем р (В) р (ЛВ) = ь у. Математическое ожидание разности оценок равно су-ьу означает несмещенность оценки разности при использовании коррелированных выборок вместо прямого метода Монте-Карло. Дисперсия оценки, полученной после N циклов моделирования, равна .var ( ? - ЬУ) = £{[ 7 - ~ ( У - *У)1}, var ( У - ьу) = [оу (1 оу) fcy (1 ьу) - 2р ]/ау (1 ау) fcy (1 fcy)l/CiV. (5.63) Отметим, что только тогда, когда коэффициент ро положительный, коррелированная выборка уменьшает дисперсию оценки. Если ро отрицательный, то грубый, или прямой, метод Монте-Карло (когда р всегда равен нулю) обеспечивает оценивание Y--У с меньшей диспер-сией чем моделирование с коррелированными выборками. При этом дисперсия оценки после -Л циклов равна уаг( У--*У)=СУ(1 - ау) ьу(1 бу))/-уу. (5.64) Показатель сравнительной эффективности (согласно уравнению (5.50)) коррелированной выборки по отношению к прямому методу Монте-Карло равен ( var ( У - У)/%аг (-У - ТЖмГ. (5.65) Когда °У и У имеют почти одинаковые значения, (5.63) и (5.64) можно подставить в (5.65) и получить Jl/(l-po). (5.66) 5.5.4.5. Некоторые численные результаты Вычислим показатель Е для этого частного случая, используя числовые значения из табл. 5.4. Значение 6 равно e-z0,8802-0,8010=0,0792, (5.67) а значение ро согласно (5.62) составляет р = 0.0792/у0,9 0.1.0,89 -0,11 = 0,84375. Подставив в (5.65) соответствующие значения, получим 5Ез=::(0,9-0,1+0,89-0,11)/(0,9-0,Ц-0,89-0,11 - -2.0,0792) =6,3695. (5.68) Приблизительно тот же результат можно получить на основании (5.66). Таким образом, в случае, отображенном в табл. 5.4, испольвование метода моделирования с коррелированными выборками более чем в шесть раз эффективнее грубого, или прямого, метода Монте-Карло, что следует из строгой положительной корреляции между событиями А и В. 5.5.4.6. Гвометрическое объяснение метода коррелированных выборок Чтобы проиллюстрировать эффективность применения коррелированпы.х выборок, будем использовать двумерное распределение для F). Если объем выборки достаточно велик, распределения Г и которые являются биномиальными, будут аппроксимированы нормальными. Если к тому же °f и имеют коэффициент корреляции р, то они имеют двумерное нормальное распределение (Беккер, 1972): IF, = ехр {ау-оу) 2 2р( ? - У) {ЬУ - Ьу) + ъу{\ - ьу) [2(I p=)]j (5.69) IF, = 27г1/ ( \-fyУ{\-Y)Y{\-Y)jN. Это двумерное распределение представлено на рис. 5.21 для случая положительной корреляции между оценками, когда {Y, ьу) = (0,90; 0,89). F и ? имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, как и на рис. 5.16, соответствующем случаю отсутствия корреляции. Если переменные иекоррелированы, то выражение (5.69) и рис. 5.21 эквивалентны (5.46) и рис. 5.18 соответственно, так как р=0. Если р изменяется от О до ро, то двумерное распределение вероятностей будет изменяться (когда будет бесконечно повторяться О-пре-образование, как сказано в п. 4.4.5) следующим образом: 1) безусловные распределения для оценок Г и (обе нормальные) останутся без изменения, 2) главные оси эллипсов, иллюстрирующие равновероятные комбинации (bf, af повернутся. Пусть, как и ранее, а явля- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 |