Слаботочка Книги

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

Исходные Данные для прогнозировання постепенных отказов во 1рсмеии еще более неопределенны, чем для прогнозирования вероятности удовлетворения требованиям к качеству продукции в начальный момент времени. В этом случае некоторые сведения можно также получить у изготовителя из. его сводок, отчетов о на-i дежности. Однако по-прел1нему необходимы реалисти-. ческие исходные данные для анализа надежности. Здесь -гедовало бы упомянуть об одной форме получения информации, а именно; о нерегламентнрованном обмене данными между потребителями и изготовителями.

6.3. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Возвращаясь снова к вопросу о вероятностных оценках при проектировании схем, отметим, что проектировщику приходится сталкиваться с необходимостью определять распределения вероятностей для элементов, о которых ему известно менее, чем достаточно. Что же ему следует делать? Напомним, что проектировщик должен определить распределение вероятностей для каждого параметра. Рассмотрим случай, когда проектировщик знаеториентировочно среднее \i и дисперсию о для параметра распределение которого f(x) ему, однако, неизвестно. Для расчетов он должен каким-то образом выбрать функцию распределения. Например, он мог бы сделать следующее.

1. Выбрать простейший вцд возможных распределений для заданных значений мо.ментов:

!{х)=\/2, X=ll±G,

f{x)0, хФ)±о.

Когда элементы конкретного типа имеют такое распределение вероятностей, знание фактического значения х для конкретного элемента дает только один бит информации. Это можно усмотреть из суммы значений (-/Wlog5/(.v)):

-V2 log2(l/2)-/2 log2(l/2)=:l, . где log2 операция логарифмирования по основанию 2, При небольшом количестве такой информации существует очень малая неопределенность) в отношении значений л:, полученных в результате измерений.

5 В смысле энтропии информации. {Прим. пер.). . 12-8 97 177

5. быбрать распределение, близкое по виду к прё дыдущему:

{1/4. x==iiza ут, 1/2, =:jx,

В этом случае знание фактических значений х для определенного элемента в среднем дает 3/2 бита информации:

l/41og2(l/4)-l/4 Iog2(l/4)-I/21og2(l/2)=3/2.

3. Построить сколь угодно много различных дискретных распределений вероятностей

fi=f{x=Xi), i=l, ti

с желаемыми свойствами;

Любое такое распределение позволяет, зная фактически измеренное значение х, получить в среднем Н битов информации:

где Я - мера информации в форме энтропии, введенной Шенноном.

4. Вместо дискретного распределения вероятностей использовать плотность вероятности f{x). В этом случае можно вычислить информацию Н, полученную на основе измерения значений х для отдельного элемента, в битах:

Н=~ f{x)\og2[f{x)lm{x)]dx. (6.1)

Проектировщик, который должен выбрать распределение, теперь может поступить так. Среди всех распределений, соответствующих имеющейся информации, он может выбрать функцию распределения, которая бы в меньшей степени противоречила отсутствующей информации, т. е. он выбирает функцию f{x), максимизирующую выражение (6Л) для Н. 178

До сих пор рассматривался случай, когда проектировщик знает для х среднее значение \i и дисперсию а, но если он решит использовать функцию f{x), которая бы максимизировала информацию Я для заданных р, и с\ то ему следует использовать нормальное распределение вероятностей, т. е.

f (х) = ехр {- {X - 1.)7(2о)}/(о

Функция нормального распределения является наиболее подходящей формой функции распределения при известных только [I и о, что позволяет проектировщику обосновать свой выбор.

Теперь рассмотрим случай, когда проектировщик не учитывает значений \i и cf, а только знает область возможных значений х для плотности f{x):

RaxRo+iR.

Если он желает выбрать функцию f{x), максимизирующую Я, то можно сделать такой выбор:

f{x)=llR, R,<xR,-R,

/(0) = 0. x<R >i? -f./.

Этот результат очевиден из соображения симметрии. Равномерная плотность наименее противоречива при неизвестной функции f{x) (известна только область значений х), чем проектировщик и может обосновывать свой выбор.

в заключение рассмотрим случай, когда проектировщику известно, что х может принимать только положительные значения, f{x)=0 для а<0, и что первый момент для f{x) равен р.. При таких условиях экспоненциальное распределение будет максимизировать информацию, связанную с измеренными значениями х. Б этом случае

/(.>;) = (ехр{-x/p})/i,i.

12* 179

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83