|
| |
|
Слаботочка Книги Приложение 5 Систематизированная процедура составления вариантов проектируемой системы или схемы минимальной стоимости Предположим, что принято решение о структуре схемы или системы. Проектировщик знает стоимость и качество вариантов выбираемых для реализации элементов илг подсистем (далее называемых элементами). Допустим, например, что свойства каждого элемента могут иметь три градации: высокие, средние и низкие. Например, сопротивление 100 Ом в проекте может быть обеспечено резисторами с допусками 1, 5 и 107о. причем низшее качество (худшие свойства) предусматривает сравнительно меньшую стоимость элемента. При выборе уровня качества каждого из N комплектующих элементов с тремя градациями проектировщик может сделать результирующий выбор тремя способами. С каждым результирующим выбором связаны два показателя: стоимость С 11 начальная иадежнссть продукции R (иначе называемая выходом год-нон продукции). Каждый выбор или вариант (оба термина используем в смысле набора градаций элементов) можно представить точками иа рис. По.1. Среди достаточно большого числа возможных вариантов проектировщик интересуется только теми, в которых фиксированный показатель надежности достигается при минимуме стоимости. Такие (оптимальные) варианты ной линии. И.чепно среди этих  Рис. nS.l. Реализация системы из N элементов, каждый из которых имеет три различных уровня качества (З различными способами). представлены точками иа жир-оптлмальны.х вариантов проектировщик выбирает окончательный. Как же найти оптимальные варианты, не вычисляя показателей надежности и стоимости для всех или по крайней мерс для большей части из общего числа имеющихся вариа)гтов? В п. П5.2 будет рассмотрен случай, когда все градации качества элементов могут изменяться нифнгштезимальнымк шагами. Тогда при пяти принятых допущеипя.к можно предложить некоторую процедуру, которая позволит пайти вес оптимальные варианты В п. П5.3 рассмотрен более реальный случай, когда все N элементов могут изменять свое качество только дискретны.м образом. В этом случае также можно предчггожнть методику, которая позволит найти все оптимальные варианты, однако объем вычислений при этом значительно возрастет. В такой ситуации можно предложить суб-олтимальпую процедуру с приемлемым объемом вычислений, кото- Т. е. обеспечивающие фиксированный уровень начального качества при минимальной стоимости. {Прим. пер.) рая дает совокупность так называемых хороших вариантов. Для проверки эффективности процедуры рассмотрен усилитель на трех транзисторах, причем в конечном счете на самом деле получен ряд .хороших вариантов усилителя. ns.1. Случай, когда N элементов имеют инфинитезимально изменяющиеся градации качества Начнем с варьирования уровнями качества (градациями) только у двух элементов. Эти градации gj и gz можно представить точками иа плоскости (gl, 2)- Примем пять следующих допущений: 1) Si и g2 можно измерить скалярной величиной, например, градации качества электрических элементов можно оценить по их допускам. Чем выше значение g, тем хуже элемент. Все значения g должны быть больше нуля; 2) gi и g2 могут изменяться инфинитезимальными шагами от g\ Ш1П и gz min до gi mas. И g, maxj 3) показатели надежности R и стоимости С являются дифференцируемыми функциями gi и g в рассматриваемой области. Показатель надежности R можно максимизировать, используя описанные в данной книге методы; 4) определяя местоположение точек в ачоскости (ь g) с одинаковыми значениями R, получаем семейство выпуклых кривых как показано на рис. П5.2. Эти кривые вып>чслы, так как обеспечение все более высокого уровня качества приводит к резкому росту затрат. Радиус кривизны в любой точке кривой положителен, а градиент находится в первом квадранте; 5) в плоскости {gi, g2) находятся точки с одинаковыми значениями показателя R, при этом получается некоторое семейство выпуклых кривых, как показано на рис. П5,2. Радиус кривизны в любой точке кривой на рис. П5.2 положителен, и градиент находится в первом квадранте, поскольку влияние ухудшения качества одного э.иемента на надежность продукции только в незначительной степени можно компенсировать улучшением качества другого элемента. Рассмотрим область BFGDHKB иа рис. П5.2. Все точки этой  Рис. П5.2. Расположение вариантов минимальной стоимости: Ru -Ri и ~ кривые постоянного уровня показателя R; Си Сг а Сз - кривые постоянной стоимости С; ABLDE - геометрическое место вариантов минимальной стоимости. Напомним, что выпуклая кривая (так же, как и выпуклая поверхность трех или более измерений) характеризуется том, что если две точки на ней (или поверхности) соединить хордой, то все точки на хорде будут находиться с одной стороны этой кривой (или поверхности). области имеют показатель надежности продукции, по крайней мере равный Нз при максимальной стоимости элемента, равной Ci. Эта область выпукла, так как является пересечением двух выпуклых областей ANfUDHKMA и EPFBKQE. Если утверждать, что показатель надежности продукции Н должен быть по крайней .мере на уровне Ru, а затем попытаться минимизировать стоимость элемента, то эта область будет стянута вначале к выпуклой области LODHL, а затем выродится в т .чку D. Точка D представляет комбинацию (ёь g2) наименьшей .iohmocth, когда можно обеспечить неравенство RRz, т. е. R=i<i в точке D. Касательная к кривой Сз, проходит через точку D согласно принятому допущению 3; таким образом их градиенты имеют одинаковое направление. Согласно допущению о БЫпу1спости предельной является одна точка V. Повторяя шаги этой .процедуры, можно получить ряд оптимальных варнанюв Л, В, L, t ... Кривая, проведенная череа эш точлй, яьшется геометрическим местом вариантов мннималонои стоимости, интересующих проектировншка. Значения (С, R) для оптимальных точек показаны жирной линией на рис. ПоЛ. Б доущениях 4 и 5 указано, что совокупности рассматриваемых кривых должны оыть выпуклыми. Трудности оптимизации из-за наличия вогнутостей иллюстрируются на рис. По.З, где эти криьые петляют , а местоположения вариантов минимальной стоимости  Рис. П5.3. Петление и явление бифуркации. разделены на две ветви. Такое явление называется бифуркацией. Петление; в данном случае не обязательно вызывает бифуркацию. Би-фуркацын затрудняет анализ, так как вызывает необходимость изучать все цозможные ветви решений для выявления вариантов минимальной стоимости. Отметим, что вопросам петления кривых н возникновения бифуркационных явлений в задачах оптимизации в последнее время уделяется все больше внимания. С некоторыми незначительными изменениями изложенное для 2V=2 справедливо и для Л==3. Допущения 1-3 должны включать градации g%, которые нужно излхенять Предцоложение 4 формушруется теперь так. аМ.естоположение точек (gi, ga) с одинаковыми значениями стоимости С составляет выпулугую поверхность. ИоБерхностн с ностояннымн значениями показателя С во всех точках имеют положительные главные радиусы кривизны и градиент в первом октанте. Предположение 5 теперь формулируется так. Местоположение точек (gi, g2, gbi с одинаковыми значениями показателя R составляет выпуклую поверхность. Поверхности с постоянным уровнем показателя R во всех точках имеют положительные главные ра- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [77] 78 79 80 81 82 83 |