|
| |
|
Слаботочка Книги диусы кривизны и градиент в первом октанте, поскольку влияние качества одного элемента на надежность продукции в целом можно лишь незначительно компенсировать улучшением качества другого ял мента. Согласно этим предположениям область, в которой точки имеют значение RRo, является выпуклой. То же самое можно сказать об области, в которой точки имеют значение ССо. Если эти области пересекаются, то их пересечение является выпуклым. Если теперь последовательно уменьшать Со, поддерживая постоянным Ro, то в пределе выпуклая область пересечения выродится в одну точку; допуш.ение о положительности радиусов кривизны гарантирует, что в пределе область пересечения будет не линией, а точкой. В предельной точке пересечения областей касательные плоскости к поверхностям R и С совпадают, а два гра/иента имеют одинаковое направление. Повторяя татсую процедуру, можно найт;. другие варианты минимальной стоимостиСог.гасно допущеник о чифференцируемости кривых геометрическое место точек -вар актов минимальной стоимости образует некоторую кривую, соединяющую две точи min, gamin, min) И (i mas, ёа так, g,4ma.\)- Значения {R, С) для точек этой кривой показаны хснрной линией на рис. П5.1. Если поверхность с постоянным значением показателя R, например, Ra пересекает поверхность с постоянным значением С, например, Сь, то это пересечение становится замкнутой кривой в пространстве. Все точки этой кривой соответствуют только одной точке на рис. П5.1, для которой линии R=Ro. и С=Сь пересекаются. Петление и бифуркация, по-видимому, возможны также и в случае трех измерений; допущение выпуклости, однако, гарантирует, что эти явления не возникают. Для N=2 и N=3 местоположение вариантов минимальной стоимости, но с различными значениям-показателей надежности представляло некоторую траекторию, соединяющую точку, соответствующую варианту с максимальными показателем надежности и стоимостью, с точкой, соответствующей варианту с минимальными показателем надежности и стоимостью. Доказательство этого основывается на тех же пяти указанных допущениях. Если число элементов N>3, то те же пять условий должны быть выполнены. Обобщение этих пяти допущений на N элементов с градациями качества gi,..gn тривиально. По соображениям, установленным ранее, если варианты с i?>Ro или с С<Со представляются точками, расположенными в двух выпуклых Л-мерных областях (объемах), удовлетворяют неравенствам R>Ro, и С<Со, то они представляются точками, располагающимися в выпуклой Л-мерной области (это следует из аппроксимации областей Ro и Со выпуклыми многогранниками и из того, что их пересечение дает новый выпуклый многогранник меньшей размерности). Согласно допущению, что все радиусы кривизны положительны (это гарантирует отсутствие седловых точек), выпуклая область в пределе вырождается в одну точку, когда С последовательно уменьшается. Согласно допущению о дифференцируемости геомет- *J Т. е. для других уровней показателя надежности. [Прим. пер.). рическое место вариаптов проекта с мипималысой стоимостью будет одномерной KpMDoii, проходящей через точки {gi miu,., -, gN min) и {g\ mas, . . ., gN max). Например, уравгсеиие для этого геометрического места точек может быть задано параметрически: где t - параметр. Когда / монотонно изменяется от tmu- до fmas, точка на этой кривой перемещается с одного конца в другой. При сделанных допущениях теперь можно сформулировать ответ на вопрос, поставленный в начале приложения. Геометрическое место точек - вариантов с мннималыюй стоимостью получают: 1) начиная с варианта, который обладает максимальной надежностью и максимальной стоимостью, 2) изменяя N градаций качества элементов так, что градиент стоимости и градиент надежности всегда пропорциональны. Если векторы градиента имеют одинаковое направление, стош.юсть максимально уменьщается при постепенном уменьшении надежности. Последовательность таких точрк заканчивается выбором варианта заданной надежности и минимальной стоимости. П5.2. Случай, когда качество элементов может изменяться дискретными шагами Если градации качества совокупности N элементов изменяются только за счет диасретных шагов, возможные комбинации градаций качества элементов можно представить точками решетки в Л-мер-ном пространстве. Помимо точек {gi miD,..gN min) и (g i max,.. gN та.ч) ни одна точка решетки не может, вообще говоря, попасть на геометрическое место точек - вариантов минимальной стоимости. Это значит, что на практике следует перебирать варианты среди coBoiQHHOCTH субоптимальных. Степень субоптимальности варианта с парой значений (Со, Ro) MoxtHO задать одним пз двух способов. Можно оценить превышение стоимости (Со-С*) или недостаточный уровень показателя надежности {R -Ro) для варианта, где (Со, R*) и (С*, Ro) - два варианта с соответствующими миними-зированпыш! стоимостями. При выборе субоптимального варианта приходится решать вопрос о том, какой из двух субоптимальных вариантов (Ci, Ri) или (Са, Rz) лучше. Если в одно и то же время С<С2 и RiRz, то ясно, что вариант {Си i?i)лучше (Сг, Rz)- Но если Ci<C2, г Ri<. <i?2, то вопрос о том, уменьшать нли не уменьшать уровень надежности, стоит ли разность {Ri-Ri) экономии по стоимости (Сг-Ci), остается открытым. На этот вопрос можно ответить только в каждом конкретном случае. Если градации качества элементов изменяются только шагами конечной величины, то процедура оптимизации состоит из двух этапов. I. Отвергаются или отбрасываются все варианты, которые хуже некоторого варианта. В результате останется совокупность вариантов S*, обладающая следующим свойством. Если два варианта {Са, Ra) и (Сь, кь) принадлежат S* и Со>Сь, то выполняется неравенство Ra>-Rb. 16-897 241 2. Седй допустимых вариантов S* выбирается такой, который окашвастся лучшим по другим причннам (например, соображениям KOHiiiDHKTypH поставок). Такая процедура включает вычисление и сравнение слишком большого числа вариантов, поскольку в практических случаях совокупность вариантов S* получить не удается. Можно, однако, при значительном объеме вычислений получить другую, все же меньшую по объему совокупность вариантов S, принимаемую за хорошую i). Такая процедура оптимизации основана на максимизации экономии стоимости при уменьшении уровня надежности продукции в целом. Однако теперь нужно делать шаги поиска конечной длины в УУ-мерном пространстве, так как имеется Л элементов. 1. Первым членом совокупности 5 является вариант {gi mm, ... ., gN min), для которого с и R максимальны: (С, /?)=(Стах, RtatLx)- 2. Подсчитав пары чисел (С, R) для N вариантов, полученных уменьшением показателя gj, у=1,.. N, на один уровень, оставляем при этом градации остальных N-1 элементов на максимальном уровне. Этот результат назовем {hC, iR). Вычисляя N значений отношения определяемого как (<тг - С)/(п,ах г) > (-П5.1) находим значение /, которое максимизирует соответствующее уменьшение показателя gj на один уровень осуществляем непрерывно. Полученный вариант назовем iD. Он включается в S, которая теперь состоит из двух промежуточных вариантов. Соответствующую пару значений {hC, iR) обозначаем как (jC, iR). 3. Начав с iD и повторив шаг 2, получим вариант 2, который включается в совокупность S. 4. Повторяя эти шаги многократно, в конце концов получим вариант (gimas,gNm&x), ДЛЯ КОТОрОГО (С, R) = {Cmla, Rmio). Этот вариант также включается в 5. Если число уровней для gj обозначить через Alj, то число вариантов в совокупности S равно iW = ! -f (М, - l).-f {AU-I) -f ... -f {Mfj - 1). (П5,2) Сколько же вариантов Е нужно рассчитать, прежде чем получим М вариантов для 5? Максимально возможное значение Е определяется как гаах = (( - 2) + - 2):Н-,... + (Мд - 2)) -f j ;V-b(/V-l)-f (V-2)-]-...-f2-j-l. (П5.3) Предполагая, что MiMz.. .MN-{Mif, можно убедиться, что наименьшее возможное значение Е составляет = 1 -f (М, - 1) -f (iV- 1) (Ж,:- 1) Н- {N,-2) (Л1, 1) + ... -.. Н- 2 1) + 1 (Му - 1). (П5.4) В случаях, характерных для практики, £тах во много раз меньше общего числа возможных вариантов / Р=МгМ2,..., Mif, (П5.5) > Т. е. которая состоит не из всех сравниваемых вариантов, а уже некоторым образом отобранных. {Прим. пер.). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 |