|
| |
|
Слаботочка Книги 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 Изложенная процедура эквивалентна методу Галеркина и приводит к системе уравнений Кирхгофа обобщенного метода наведенных ЭДС. Если базисные функции в представлении токов (3.5), фигурирующих в (3.1) в качестве сомножителей под знаком интегралов и аргументов операторов E(j<), H(j), неодинаковы, то переход от (3.1) к (3.8) эквивалентен методу моментов. В последнем случае выбор базисных функций также должен быть подчинен условиям (3.6). Базисные функции, используемые для представления токов, входящих в качестве сомножителей под знаки интегралов в (3.1), обычно называются весовыми. Если весовые и базисные функции одинаковы, то можно показать, что условиям (3.6) удовлетворяют те базисные функции, для которых имеет место неравенство divr-4 << , , (3.14) т. е. ток базисных функций не должен создавать точечных и линейных зарядов, так как с ними связана бесконечно большая мощность и система уравнений (3.8) в этом случае теряет смысл. Неравенству (3.14), а следовательно, и условиям (3.6) удовлетворяют непрерывные векторные функции, нормальная составляющая которых к границе области их существования равна нулю. Например, по этой причине в качестве базисных не могут быть использованы кусочно-постоянные функции. Перейдем теперь к методу интегральных уравнений. Существуют различные виды интегральных уравнений [1-2], используемых при решении задач электродинамики. Рассмотрим уравнение, применяемое при исследовании излучателей, образованных плоскими и линейными проводниками. Исходными соотношениями являются граничные условия для касательной составляющей вектора напряженности электрического поля на идеально проводящей поверхности излучающих элементов (3.15) , 1 р=1 Здесь Etniip)-касательная составляющая поля, созданного р-м излучателем на п-м излучающем элементе; Eoin - известное поле, возбуждающее п-й излучатель. Выразив векторный потенциал через токи излучателей А (г) = - jG(r, r)yjS, (3.16) где б (г, г) - тензорная функция Грина; 5 - поверхность п-го излучателя, уравнение (3.15) можно представить в следующей форме: (graddiv-bA )( = E 0(71 n=l..... N, (3.17) ГД£ A fO nS -- P=l, pTtn S. jG(r, r)lpdS. (3.18) Дифференцирование под знаком интеграла в (3.17) приводит к псевдоинтегральному уравнению, ядро которого имеет неинте-грируемую особенность. Использование представления тока с конечной мощностью и формальное применение метода моментов при преобразовании (3.15) в систему линейных алгебраических уравнений приводит к системе уравнений (3.8). Однако возможен и другой путь, приводящий к интегральному уравнению первого рода с ядром, имеющим интегрируемую особенность. Для этого уравнение (3.17) разбивается на дифференциальное уравнение (grad div -I- k\ [A -Ь A2il = - Ео .n (3.19) и интегральное jG(r. r)j dS = A , (3.20) определяющее поверхностный ток на плоском излучателе решетки. Векторный потенциал в правой части (3.20) находится из (3.19). Выражение (3.20) представляет собой интегральное уравнение первого рода, ядро которого имеет интегрируемую особенность вида jr, что позволяет построить регуляризующие алгоритмы его численного решения. Задача интегрирования уравнения (3.19) наиболее просто решается для плоских проводников прямоугольной формы и сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Возможен и другой подход, приводящий к интегродифференциальному уравнению [3]. Используя соотношение Е= -(grad --i(BA). (3.21) уравнение (3.17) можно представить в форме gradi а -I- 1 ш Atn = Е - grad/ и - i со A, j, (3.22) и решить относительного скалярного потенциала = - fu)ji<,eadivAn. (3.23) Если X, у - прямоугольные координаты в плоскости решетки, то уравнение (3.22) можно представить в эквивалентной скалярной форме ди ди ди ди, + f(o/l y = £ot пу- 1(0 Л (3.24) Интегрируя уравнения (3.24) по соответствующим аргументам, получаем систему связанных ннтегродифференциальных уравиеннй: = lEotnxdx+u(x , у), Unix, у) + и(х, y) + i<i>llAny(x, У) + Лу(х. y)\dy = = JE t j,di/-f ((/ , X), п=\, (3.25) (3.26) а векторный потенциал определяется соотношением (3.16). В выражении (3.26) ловерхностная плотность заряда на излучателе связана с неизвестным током уравнением непрерывности divJ5= -1Щ>з. (3-27) Ядро интегрального оператора (3.26) в (3.25) имеет особенность вида И/л Ядро второго интегрального оператора в (3.25), связанного с векторным по тенциалом, имеет особенность вида 1/1п л. Эти свойства ядер интегральных операторов обеспечивают возможность использования регуляризирующих алгоритмов прн численном решении системы уравнений (3.25). В случае прямоуголь ных плоских излучателей интегрирование по частям в (3.16) и применение граничных условий для нормальной составляющей тока на кромке излучателей приводят к интегральному уравнению первого рода относительно распределения заряда с ядром, имеющим особенность вида 1/г. В отлнчие от (3.17) для перехода к системе интегральных уравнений (3.25) необходимо обратить дифференциальный оператор всего лишь первого порядка, что позволяет использовать (3.25) для исследования характеристик плоских излучателей произвольной формы. Системы уравнений (3.20), (3.25) решаются численными методами путем преобразования в систему линейных алгебраических уравнений. Как при энергетическом подходе, порядок системы линейных алгебраических уравнений равен произведению числа излучателей на число базисных функций в разложении (3.5). Поэтому прямое решение системы ураине-ний (3.8) и тех, в которые преобразуются уравнения (3.20), (3.25), возможно лишь для решеток с небольшим числом излучателей. 3.2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ИЗЛУЧАЮЩИЕ СТРУКТУРЫ При определении характеристик больших решеток весьма полезной оказывается модель бесконечной решетки [4]. В этом случае предполагается, что конечная решетка дополнена до бесконечной излучателями, нагруженными на согласованные нагруз- ки и образующими с излучателями конечной решетки периодическую структуру. Далее, рассматривая задачу исследования ФАР с конечным числом излучающих элементов, будем использовать систему уравнений (3.8), т. е. энергетический подход. В случае бесконечной решетки система уравнений (3.8) принимает следующий в.чд: Z°°A = B, (3.28) где Z~ = ZH-AZ~ (3.29) В (3.29) AZ°° - матрица, дополняющая матрицу системы уравнений (3.8) до матрицы бесконечной решетки. При переходе к бесконечной решетке задача определения токов в излучателях сводится к решению задачи о токах в излучателе одной периодической ячейки при парциальном возбуждении, когда решетка возбуждается волнами с одинаковой амплитудой и линейно меняющейся фазой. Действительно, поля £ и Я в (3.1) могут быть выражены через источники поля - электрический и магнитный токи и тензорные функции Грина: Н(г) где верхние индексы в обозначении функции Грина соответствуют векторам в левой части (3.30), а нижние - индексам в обозначении плотности тока. При моделировании АР удобно использовать волноводное представление функции Грина, связанное с законом размещения излучателей в решетке. Подобное представление можно получить для решеток, излучающие элементы которых размещаются в узлах некоторой координатной сетки. Если и, V, п - координаты, определяющие положение излучателя в решетке, то волноводное представление тензорной функции Грина имеет вид (3.30) G(r, г)= I f 2 Gj,g{u, u,v, V, 1 1 р, g= oo п, п, I, vi) ехр (i 2л т + р)(и- и) + {n + q){v- v)]} сК, dr\. (3.31) Для плоских и круговых цилиндрических антенных решеток с эквидистантным размещением излучателей волноводное представление функции Грина упрощается: 1/2 1/2 -I-0o ( )= i S Opgin, п,1, ri)exp{i2я[(+p)(u-u) + -i/2-\/2 p,q=-oo + {n + q)(v- v)]] dldr\. (3.32) При определении функции Грина учитывается строение области, содержащей излучатели: наличие экрана, диэлектрической подложки, защитное покрытие и т. д. Подстановка (3.30) в (3.10) - (3.13) приводит к следующему разультату: f-Z(. Ti)f+A=B. (3.33) где F- - операторы прямого и обратного двойного дискретного. преобразования Фурье; Z (I, т)) К (i. т)) Z(?, г]) = (3.34) К{1, Т1) Y(g, Т1) - преобразование Фурье матрицы Z в (3.28) - блочная матрица системы уравнений, определяющей токи в излучателе бесконечной решетки при парциальном возбуждении Ujnn = ехр и 2л 1т +ЦП)], т, п = 0, ±1,... (3.35) В качестве примера приводится выражение для коэффициентов матрицы Z(, Tl) ZhH, ti)= 2° i M IG( , n, i, Ti)>,exp{t 2я [(I + p)(u- u) + (n + 7) (t -y)!}dV. (3.36) где Уо - область излучателя с т = п = 0. Применяя двойное преобразование Фурье к левой и правой частям (3.33), получаем Z(i. Т1)А(, n) = B(i. Т1). (3.37) Решение уравнения (3.33) в приближении бесконечной решетки имеет вид A = fA(i, л). (3.38) Модель бесконечной решетки позволяет достаточно точно определить диаграмму направленности ФАР и рассогласование центральной области излучающего полотна с большим числом излучателей. Однако для расчета диаграмм направленности и рассогласования ФАР со средним и малым числом излучателей, а также для определения рассогласования в краевой зоне больших антенных решеток необходимы более точные модели. 3.3. КОНЕЧНЫЕ АНТЕННЫЕ РЕШЕТКИ Известен ряд работ по исследованию характеристик конечных решеток. В [5] рассматривается аппроксимационный метод, заключающийся в аппроксимации функции 1/Z(x), где Z{k) - входное сопротивление излучателя в бесконечной решетке. Один из эффективных методов определения характеристик конечных антенных решеток основан на преобразовании матрицы взаимных сопротивлений в циркулянтную матрицу и итерационном алгоритме решения преобразованной системы уравнений [5]. В [6] использован принцип локальности взаимодействия излучателей, согласно которому при оценке влияния соседних элементов на характеристики данного учитывается лишь ближайшее окружение рассматриваемого элемента. Одним из эффективных методов исследования характеристик конечных антенных решеток является метод краевых волн [7]. Сущность его заключается в том, что распределение тока в конечной решетке представляется в виде суммы регулярной части и краевой волны. Регулярная часть соответствует току бесконечной АР при соответствующем возбуждении. Возбуждение краевой волны является причиной краевых эффектов, приводящих к изменению согласования излучателей краевой зоны, изменению их фазовых и амплитудных диаграмм направленности, а также поляризационных характеристик. Для определения регулярной части тока и краевой волны система уравнений (3.8) конечной решетки преобразуется в систему уравнений для бесконечной решетки и систему уравнений краевой волны. Для этого матрица системы уравнений (3.8) дополняется до матрицы бесконечной антенной решетки, после чего система уравнений (3.8) распадается на две: Z~A = B, ZAA = AZ°°Ao, (3.39) (3.40) где AZ°° - дополнение исходной матрицы Z до матрицы бесконечной решетки Система уравнений (3.39) определяет регулярную часть тока, а (3.40) - краевую волну. Согласно уравнению (3.40) краевые волны в конечной АР возбуждаются фиктивными источниками, представляющими собой регулярную часть тока на излучателях, дополняющих конечную решетку до бесконечной регулярной структуры. Для решения уравнения краевой волны используется итерационная процедура, состоящая в дополнении матрицы системы уравнений (3.40) до бесконечной и выделении уравнения, определяющего первое приближение краевой волны как токи конечной решетки, возбуждаемой в составе бесконечной: Z°° AAi = Д Z°° Aq, ZAA2 = AZ Ai, (3.41) (3.42) где AAi - первое приближение краевой волны; ААг - поправка к первому приближению и т. д. На п-м шаге Z°°AA = AZ°°AA 2ЛАп+1 = AZ°° Д А , ДАл!2 АА . (3.43) (3.44) (3.45) Итерационная процедура быстро сходится, и погрешность менее одного процента может быть получена в большинстве случа- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 |