|
| |
|
Слаботочка Книги часть ДН по мощности. Степень влияния ошибок на форму средней ДН можно охарактеризовать отношением величины iof к максимальному значению когерентной составляющей - значению ее в направлении главного максимума Uo. Это отношение назовем относительным фоном рассеянной мои{НОсти: 2leVn(u)2 F(u )P 2 On Уп (u ) (13.5) о2 = - -1 = Для решетки идентичных одинаково ориентированных излучателей с нормированной ДН fo(u) Г /..V t 9 (13.6) г О \ 0) I где параметр fo(Uo)2 п In характеризует чувствительность антенны к случайным ошибкам JOl KPnWTIITJUQ V ГкТТ.ПЛТ1ЛттгтЛ.т. г.г.гт..,г.--------- л Величина S определяет соотношение между флуктуациями поля антенны в главном направлении и величиной о, характеризующей флуктуации возбуждения и размещения излучателей. При заданной статистике ошибок (величине о) значение S определяет фон рассеянной мощности. При нормальном возбуждении антенны, для которого ап=ехр(-/иоГ ), вне зависимости от шага решетки и направления Uo чувствительность S=l/N минимальна. Поэтому антенна с нормальным возбуждением наименее чувствительна к случайным ошибкам. Применение спадающего к краям амплитудного распределения для снижения уровня боковых лепестков приводит к росту величины S. Так, для линейной антенной решетки изотропных излучателей с биномиальным амплитудным распределением при ЛГ>1 8={ЦnN=\jDo (где Dp - КНД антенны в отсутствие ошибок), т. е. величина S в N\Ik раз больше, чем при нормальном возбуждении такой антенны. Это обстоятельство осложняет реализацию антенн с низким уровнем бокового излучения. С чувствительностью антенны однозначно связана эффективность излучения антенны в направлении главного максимума ДН [5]: T(Uo) = Fo(Uo)ryAf2la.l=l/o(u )i/A5. (13.7) Величина T(Uo) пропорциональна отношению плотности потока мощности в направлении Uo к квадрату нормы тока в антенне 21а 12. Другими словами, величина T(Uo) характеризует, какой ценой (в смысле нормы тока) достигается заданное в направлении главного максимума значение поля. Величина 71. При нормальном возбуждении, для которого плотность потока мощности в направлении Uo максимальна, J=fo(uo). Бели foi(Uo) = l, то Помимо чувствительности S л эффективности излучения Т важным параметром АР является добротность, определяющая ее полосу пропускания. Практически добротность антенной решетки как колебательной системы, настроенной в резонанс на рабочей частоте, равна произведению добротности отдельного излучателя на величину Q{x*x)l{x*[R]x), (13.8) D с где x>= [а ] - rt-мерный вектор-столбец АФР; [Л]=[-J Yn(u)X Xv*m(u)dQ] - эрм1Итова матрица размера ЛГ, элементы которой пропорциональны активным составляющим взаимных сопротивлений излучателей с КНД Z); 4Q = s\nQdQ(kp - элемент телесного угла. Величину Q иногда называют геометрической добротностью. Поскольку сомножитель Q в основном определяет результирующую добротность системы излучателей, то именно эту величину (называемую иногда добротностью решетки) и контролируют в процессе синтеза антенны. Возможные значения добротности решетки Q находятся в пределах p.- maxQp.~min, ГДб (Xmin Й Цтах - СООТВеТСТВеННО НЗИ- меньшее и наибольшее собственные значения матрицы [R]. Для изотропных излучателей элементы матрицы Гтп = sin-kdmn/kdmn, г dmn - расстояние между т и п излучателями. Для линейной решетки с шагом d, кратным 0,5Pi матрица [R] =[/], где [/] - единичная матрица, и Q = l для произвольного АФР. При d<C0,5X величина Q в зависимости от АФР может принимать как большие (в особенности при малых d), так и малые значения, а при d>0,bK значения ц~тах и (i~min сосредоточены возле единицы, уменьшаясь по мере увеличения d. Отмеченный характер изменения величин Q в общих чертах сохраняется и для других решеток. Значения Do, большие, чем при нормальном возбуждении, достигаются в решетках с повышенной добротностью Q (однако обратное необязательно). В режиме сверхнаправленности, который может иметь место при малых межэлементных расстояниях и характеризуется быстроосциллирующим АФР со значительными перепадами, высокая направленность сопровождается увеличением 5 и Q. Поскольку QSDo, то увеличение S происходит вследствие того, что Q растет значительно быстрее, чем Z)o. В ближнем поле антенны возрастает запас электромагнитной энергии, уменьшается мощность излучения , сужается полоса пронускания антенны. Увеличивается мощность тепловых потерь Рпот = 0,51пот2а р. Ко- эффициент полезного действия т1 = РКР + Я ) = 1 /(1 + ;? от QiRd (13.9) (где R £, Rnor - соответственно сопротивления излучения и потерь излучателя) даже при малых Rnor/Ri: становится небольшим. Отмеченные эффекты усиливаются но мере сближения излучателей. Параметры S (или Т) и Q играют важную роль при исследовании сверхнаправленных решеток и решеток с низким уровнем боковых лепестков. Постановка задачи синтеза антенн по их интегральным параметрам. Широкий круг задач статистического синтеза антенн решается на основе использования функционала к= iwmgi{)diviWmg,{ )dQ, (13.10) определяющего те или иные интегральные параметры антенны. В соотношении (13.10) F(u)2 - средняя ДН по мощности (13.16); gi,2(u) - действительные положительные весовые функции. Значимость функционала х (13.10) определяется тем, что, придавая тот или иной вид весовым функциям, можно получить из (13.10) различные энергетические (интегральные) параметры антенны. Так, при gi(u) =б(и-Uo), где б - дельта-функция; 2(и) = = 1/4я - функционал х, равен среднему КНД в направлении Uo [1]. При i(u)=l для QeQ и О для Q вне Qгл, где Q - телесный угол, занимаемый главным лепестком ДН, g2(u) = l функционал X определяет коэффициент концентрации средней мощности. При других значениях gi,2(u) можно получить также выражения для коэффициента рассеяния средней мощности, средней шумовой температуры антенны, отношения средней мощности сигнала к средней мощности внешних шумов и помех на выходе антенны. Таким образом, функционал х представляет собой обобщенный энергетический показатель качества антенны с неизбежно присутствующими флуктуациями поля в их раскрыве. Это и предопределяет целесообразность использования его в виде целевой функции статистического синтеза антенн. Функционал X может быть обобщен и на различные виды широкополосных сигналов [7, 8]. В отсутствие ошибок х определяет наиболее часто употребляемые в детерминированной теории синтеза показатели качества антенн. Введение в функционал х средней ДН позволяет учесть в среднестатистическом смысле влияние случайных ошибок на те или иные интегральные параметры антенны. Задача оптимизации состоит в нахождении такого регулярного АФР и регулярного размещения излучателей в антенной решетке, которые, будучи подверженными случайным изменениям -с заданными вероятностными характеристиками, обеспечивают максимум функционала х при наличии в общем случае ряда дополнительных ограничений на параметры антенныНезависимые переменные в задаче оптимизации могут описывать как АФР Задачи на минимум (например, если х равен коэффициенту рассея1учя) эквнвале[1тны задачам на максимум с измененным знаком у целевой фуикц.т. И размещение излучателей, так и раздельно амплитудное или фазовое распределение или размещение излучателей, или какую-либо их комбинацию. Допустимое множество значений переменных определяется дополнительными ограничениями задачи оптимизации и в отсутствие их совпадает со всем линейным векторным пространством. Методы решения задачи оптимизации интегральных параметров. Рассмотрим основные методы нахождения оптимального АФР по критерию максимума к. Из (13.1) и (13.10) видно, что х={х*[А]х)/{х*[В]х), (13.11) где элементы неотрицательно и положительно определенных эр-М1ИТОВЫХ матриц [А] и [В] разме,ра определяются соотношениями [1 = [ J V; ( ) Tn (U) Qnm Si (u) d Й]. 03.12) Максимальное значение x равно наибольшему собственному значению регулярного пучка эрмитовых форм. Собственные значения [li, i=l, N, вещественны и являются корнями характеристического уравнения йеЦ[А]-11[В])0. (13.13) Оптимальный вектор определяется из решения однородного уравнения [A]x>-x [B].v> = 0> (13.14) с точностью до постоянного множителя, который обычно определяют, задаваясь тем или иным условием нормирования АФР. Для ряда практически важных случаев можно получить решение уравнений (13.13), (13.14) в явном виде. Пусть, например, х определяет средний К.НД или отношение средних мощностей сигнал-шум плюс помеха, для которых gi (и) =5 (и-Uo). Ограничимся рассмотрением антенн, состоящих из излучателей с одинаковыми поляризационными характеристиками. Тогда Уп(и)(и) = =Vn(u)7*m(u). Из (13.12) для случая малых ошибок получим следующее представление для матрицы: И]= [Ло]+81], Ио]=е><е*, e> = [7*m(uo)] - iV-мерный вектор-отолбец, Hil = [jV (u)v;(u)wd] ~ - эрмитова матрица размера N. Уравнение (13.13) преобразуется к виду det{([B] - [Л,])-1е><е*-(г[/]}=0. Применяя тождество [5] det ([Я] 1К] - [I Шт = lidet ЦК] [Я] - ц [/] ), Методика решения задачи синтеза при использовании в решетке излучателей с различной или управляемой поляризацией изложена в [9J. где [Я], [К] - прямоугольные матрицы размеров (тХп) и (пХ Хт) соответственно; {/] , [1]т - единичные матрицы разме;ром п и т, для n = N, m=l и используя формулу ([Р]-е[С])-[Р]- + + е[Р]-[С][Р]-, справедливую для малых е и произвольных квадратных матриц [Р] и [С] при условии, что [Р]~ существует, получаем из (13.13) в результате решения квадратного уравнения для р, следующее выражение для максимального значения функционала -и: {(е* [В]- е) + У{(е* [S]- е)) + 4е (е* [Sj- [А] [В]- е)}. (13.15 Обычно под радикалом второе слагаемое много меньше первого и л;<е*[В]-1е>. Из (13.14) находим решение для оптимального АФР: X) =1В]- е) +1В]-ПАМВ]- е). (13.16) Представляя матрицу [В] =[Bo]+e[Bi], где МОЖНО из (13.15), (13.16) получить выражения для Им и х> через оптимальные АФР д:о> =[So]-e> и максимальное значение функционала Имо = <е*{Во]~е> = <е*л:о> в отсутствие ошибок (е=0) х> = [11]-г[В,]- ([SJ-> M = > MO-e<;([Si]-- > м в случае независимых, произвольных по величине, случайных ошибок в соответствии с (13.4), (13.10) имеем [А]=е> <е* + , [£J = [б , у (и<,) 1, [В] = + [Е,\, [В,] = [б , j IY (u)\g,dQ], (13.17) где 6 m=l при n=m, О при пфт. Используя (13.14), (13.17), находим, что с точностью до постоянного множителя оптимальный вектор л:> может быть определен из уравнения [В]-[Е,]]х> = е>. > м (13.18); Умножая (13.18) слева на <л:* и учитывая равенство {х*[В]х}= = <х*[Л]л:>/хм и соотношение (13.17) для матрицы [Л], получаем = {е*х). (13.19) При а2/и <1 уравнение (13.18) решается относительно вектора х> с применением формулы для ([Р]-е[С])- при малых е. 282 Затем из (13.19) определяется Хм. В результате получим выражения для Хм и x>, сходные, как и следовало ожидать, с (13.15), (13.16), но с заменой е на ст, [Л1] на [Ei]. Если указанное выше условие для ст/хм не выполняется, то для решения нелинейного уравнения (13.18) целесообразно использовать итерационную процедуру по следующей схеме: Xm+i> = [[B]-o[Ei]/(e*Xmy]~e>, где в качестве начального приближения т=0 выбирается решение в отсутствие ошибок л:о>= [So]~e>. Численные расчеты подтверждают быструю сходимость процесса к оптимальному решению, определяемого с заданной точностью приближения АФР на двух соседних итерациях. Модель независимых ошибок широко используется в литературе по статистике антенн для решения тех или иных задач. Хотя такая модель становится все более грубой по мере сближения излучателей, она позволяет при сравнительной простоте расчетов получить ориентировочную (заниженную) оценку максимально возможного значения функционала х. Зачастую это удовлетворяет разработчиков антенн. В общем случае, когда gi (и) #б (и-Uo), получить решение уравнений (13.13), (13.14) в явном виде затруднительно, поскольку матрицу [Ао] уже нельзя представить в виде произведения двух векторов. Тогда прибегают к различным численным методам решения этих уравнений. В частности, для нахождения хм можно воспользоваться известными алгоритмами определения спектрального радиуса произвольной комплексной матрицы, в данном случае матрицы [В]-1[А], или градиентным методом [10]. Основные вычислительные трудности, встречающиеся при расчетах величины Хм и вектора х>, связаны с обращением матриц. Этой проблеме в литературе по оптимизации различного рода систем уделяется много внимания. Обычно обращение матрицы размера требует порядка арифметических операций и ячеек памяти ЭВМ. Некоторые более экономичные методы получения оптимальных решений указаны в [11-13]. Для сокращения объема вычислений можно использовать свойство симметрии оптимального АФР в решетках, обладающих тем или иным видом симметрии в размещении излучателей. Это позволяет, в частности, уменьшить размерность задачи оптимизации. Следует подчеркнуть, что симметрия оптимального АФР обеспечивается при определенных условиях, которым должны удовлетворять не только параметры решетки, но и статистические характеристики ошибок (функция Qnm) [6]. Особенности решеток, оптимальных по максимуму среднего КНД. Рассмотрим особенности оптимальных по критерию максимума среднего КНД решеток на примере линейных эквидистантных решеток с различным шагом и любой ориентацией луча Эо. Примем случайные амплитудные и фазовые ошибки локальными, распределенными по нормальному закону, взаимно независимыми, однородными вдоль системы, с нулевыми средними значениями, дисперсиями оа, стф и коэффициентами корреляции в гаус- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [47] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 |