|
| |
|
Слаботочка Книги где r(iO - гамма-функция, то распределение тока, обеспечивающее диаграмму, Н0= Е Л:(п)[,п(п)е- = п = - т = I urn{v)pk{v)e- dv. (3.33) - оо Следует отметить, что если 1/х велико, то для того чтобы u i{v) = 1, на участке \v\ 1/х необходимо m брать очень большим; функция um{v) на участке 1/х v < т с увеличением /71 будет медленно убывать, и так как рк(у) при этом растет очень быстро, то расчет затрудните.лен. Д.ля его упрощения можно поступить следующим образом: так как um{v) и vum{v) при- надлежат к функциям класса w, то т(г;)= 27 / Myy dy; Ыип(у) = J J{(y)e dy, где к ъп, поэтому вместо (3.33) записываем ?г=0 Функцию jj () вычисляем заранее, определив коэффициенты а , аппроксимируя заданную диаграмму по- .линомом Pj;(f) = anV и суммируя ряд (3.34). 7г = 0 3.9. Обратная задача теории антенн при любой форме излучающей поверхности Задача сводится к определению плотности поверхностного электрического тока К, распределенного на некоторой криволинейной замкнутой или разомкнутой поверхности s, по заданной ДН F(6,) (г, 9, р - сферическая система координат с центром вб.лизи s). Поскольку этот ток излучает конечную мощность, то F(, </?) G -(fi), где О, - единичная сфера. Обозначим через Е, Н поле, создаваемое искомым током. Очевидно, при г - оо имеем -ikr F(,), (3.35) волновое число. где к Зададим на сфере so радиусом го, содержащей внутри себя поверхность cS, семейство вспомогательных поверхностных токов {К } (?г = 1, 2...). По.ле, возбуждаемое током в свободном пространстве, обозначим через Е( ), jj(n) Ана.логично (3.35) запишем вспомогательные токи на so в виде Qikro кп =-Зп(,); п = 1,2... (3.36) Семейство {j} будем считать линейно независимым, принадлежащим пространству l{q) и полным в нем. Применив к полям Е, Н и Е ), Н лемму Лоренца и переходя в ней к пределу, когда ?*о - оо, найдем, учитывая выражения (3.35) и (3.36), J Кё ds= J f{9,p)jn{9,p)dQ, (s) (П) п = 1,2..., (3.37) где ё = lim е1 на s; = sm9dedip; Го-*00 черта сверху - знак комплексного сопряжения; е - тангенциальная составляющая е* . Система уравнений (3.37) может быть использована для определения плотности тока К на s. Чтобы учесть случаи, когда поверхность s разомкнута и опирается на контур С, а ток К удовлетворяет условиям Мейкснера на С, например когда s - зеркало, будем искать его в пространстве I(s) со скалярным произведением (А, В) = J ARBds. (3.38) Здесь R - линейный оператор, выбираемый так, чтобы Ь{з) было гильбертовым пространством, а его элементы - векторы, касательные к s, удовлетворяли бы условиям Мейкснера для тока при приближении к £. В качестве R удобно использовать матрицу с положительными элементами Rn О о R22 Если на S одна из ортогональных координатных линий XI = const совпадает с £, то Rii при приближении к С должен вести себя как 0{р~), а R22 - как 0(р), где р - расстояние до С. Если поверхность s геометрическая (не металлическая) или замкнутая, то следует положить Ru = R22 = 1- Используя (3.38), перепишем (3.37) в виде (KR-e ) = a ; ,п = 1,2..., (3.39) где R - матрица, обратная R; ап= J F{9,ip)in{e,tp)d - известные числа. Семейство {R~e } линейно независимо и полно в Ljis), поэтому система уравнений (3.39) пригодна для определения К. Решая ее, найдем к - СрВр; (3.40) Ср = {К,Вр)=£аР ,апг. m = l Здесь - ортонормированные на s вектор-функции; af - постоянные числа, которые находятся стандартными приемами из условий ортонормировки (В , В г) = дпт- Для Bp и Ср могут быть также написаны рекуррентные формулы [3,1, Определим класс функций, которому должна принадлежать ДИ F(,), чтобы реализующий ее ток К G -д(*). Из теоремы Рисса-Фишера следует, что при выполнении условия < оо (3.41) п = 1 существует функция К € -h(s) с коэффициентами Фурье {Сп}, определяемая рядом (3.40). Таким образом, к классу реализуемых ДН принадлежит любая вектор-функция из Ь{0,), удовлетворяющая условию (3.41). Напомним, что в рассматриваемом случае пространство L(Cl) состоит из вектор-функций, заданных на Q, касательных к ней и интегрируемых с квадратом. Критерию (3.41) можно придать форму, при которой будет видно как он зависит от заданной функции F{9,<f). Учитывая (3.40), можно записать (3.41) в виде < оо. оо п р n = l m=l (3.42) Этот критерий определяет класс ДН, реализуемых токами, распределенными на замкнутых или незамкнутых поверхностях и принадлежащими пространствам Ljis). При этом выбор матрицы R в скалярном произведении (3.38) позволяет обеспечить выполнение условий Мейкснера для тока при наличии изломов или краев у металлической поверхности s. Критерий (3.42) существенно упрощается, если семейство {т} выбирают так, чтобы множество {Я~е } было ортогональным, т. е. (Я-е ,Я-е ) = О при m п. Тогда = О, когда m < n и критерий (3.42) принимает вид п = 1 < оо. (3.43) Рассмотрим отдельные примеры применения этого критерия. Пусть - поверхность бесконечного вдоль оси Z кругового цилиндра радиуса а, на котором распределен ток плотностью А = зависящий от одной цилиндрической координаты ip (двумерная задача). Диаграмма F такого тока зависит только от </з и F{ip) G L(0,27r); dQ = dip. Определим класс ДН, реализуемых током К G -(jC), т.е. когда R = 1, а S заменяется контуром цилиндра С, лежащим в плоскости г = 0. Введем семейство функций in = е /\/2; п = 0,±1,±2... в этом случае Кп = Jkro где Го - радиус цилиндра, играющий роль поверхности Sq. Элементарный расчет приводит к выражению е = -e-( /2+-/4)j ()ba)e- Таким образом, Я~е = е ортогонально в 1/(0 - 2ж) и можно использовать критерий (3.43), который принимает вид F(vj)e dp о n = -оо Jn(ka) < оо. (3.44) Отметим, что ка не должно быть корнем ни одной из функций Бесселя Jn, ибо при этом контур с (а точнее область внутри него) оказывается резонансным и нарушается теорема о полноте {е } в L{C). Учитывая асимптотическую формулу для Jnika) при п -+ оо, легко видеть, что ряд (3.44) сходится при F()e dp /eiba\l l V2 n где £ > 0 и ДН F{p), имеющая коэффициенты Фурье, реализуема током К G L(£), распределенным на цилиндре радиуса а. Рассмотрим трехмерную задачу, когда S - сфера радиусом а. Пусть г, 9, р - сферическая система координат с центром вблизи s. Требуется определить класс диаграмм, реализуемых поверхностным током К G L{s), распределенным на S. Ограничимся диаграммами, являющимися при г - оо асимптотиками полей, состоящих из 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |