|
| |
|
Слаботочка Книги 3.12 Метод регуляризации в задаче синтеза антенн Введем ограничение на токи J, J, не носящее принципиального характера, а лишь позволяющее упростить рассмотрение. Будем считать, что Г Е l2(s); J G 2(5). (3.57) Из (3.56) непосредственно следует, что F(, {р) аналитически продол-жима на всю комплексную плоскость в = $1 + 162, т.е. является векторной целой функцией. Пусть w = Qe-*i; Q = е=. Тогда F{e,p) = F={w,p){l + 0{l/Q)), (3.58) F{w,<p) = = 7-7 / J( ;,r)exp< --u;[cos--47гг j 2 -Hi sin cos((/j-(/?)]I ds; (3.59) J{w,t) - внеэкспоненциальный множитель подынтегрального выражения (3.56) (заключенного в фигурные скобки), где в компонентах вектора q следует произвести замены sinii(;/2, cos w/2. Из (3.59) видно, что F{w,p) - векторная целая функция комплексной переменной w. Оценив ее интеграл при помощи неравенства Коши-Буняковского с использованием (3.57), легко установить, что Е(ш,7з)1<е(+)1 1, где <7 кго/2; го - радиус минимальной сферы, описанной вокруг S. Таким образом, F{w, р) - целая (по переменной w) функция конечной степени сг. Справедливо и обратное утверждение: если задана функция F{e,p), О 9 ж; О р 27Г, аналитически продолжимая на всю комплексную плоскость = 1 -I- i2 и при 2 - оо имеющая асимптотику (3.58), в которой F{w,p) - целая по переменной w функция конечной степени (т кго/2, то эта заданная функция может быть реализована как диаграмма интегрируемых с квадратом токов, распределенных на замкнутой поверхности, целиком содержащейся внутри сферы радиусом Го. Таким образом, справедлив следующий критерий реализуемости: регулярная функция F{9,p), определенная на единичной сфере (О тг; О р 27г) и аналитически продолжимая на всю комплексную плоскость $ = 9i -j- 102, является диаграммой поля источников, распределенных внутри сферы радиусом го, в том и только в том случае, когда при е = Q оо имеет место асимптотическое равенство (3.58), в котором F{w,p) - векторная целая по переменной w = Qe~ функция конечной степени сг кго/2. Приведенный критерий удобен тем, что является инвариантным как по отношению к выбору системы координат, так и к способу представления ДН. 3.12. Метод регуляризации в задаче синтеза антенн Задача синтеза антенн относится к обратным задачам математической физики. Как правило, обратные задачи - некорректно поставлены, т.е. ма- лые изменения комбинации исходных данных могут вызвать большие вариации решения, что приводит к его неустойчивости. В задаче синтеза надо искать не точное решение, а квазирешение, которое должно решать задачу (в определенном смысле приближенно) и обеспечивать устойчивость решения определенными требованиями, обусловленными физической сущностью проблемы и практическим использованием решения. Требования эти связаны с априорной информацией, позволяющей из класса формальных решений задачи выделить практически реализуемое и устойчивое решение [3.22, 3.23, 3.26]. При синтезе антенн эта информация определяется практическими требованиями к распределению поля в раскрыве антенны. Возможны интегральные требования и требования частные, например, к перепадам амплитудного распределения поля в раскрыве антенны, крутизне изменения фазового распределения поля и т.п. На практике известны ДН с погрешностями (например в виде случайных величин с определенной плотностью вероятности в области задания характеристик антенны), которые обусловлены различными причинами. В этих случаях известные методы расчета не позволяют решить вопросы, возникающие в прямых и смешанных задачах теории синтеза излучающих систем, поэтому эффективным оказывается принцип регуляризации. На базе принципа регуляризации удается определить характеристики излучающих устройств в различных практических задачах, избегая громоздких вычислений. При изучении прямых задач синтеза отпадает необходимость в аппроксимации заданной нереализуемой ДН функциями определенных классов и вычислении при помощи обратного преобразования Фурье распределения тока в антенне, что часто представляет достаточно сложную задачу. Следует заметить, что методы решения некорректно поставленных задач синтеза антенн, основанные на принципе регуляризации, обеспечивают возможность синтеза практически реализуемых амплитудно-фазовых характеристик тока в антенне, определение с достаточной точностью искомого амплитудно-фазового распределения тока в антенне по экспериментально снятой векторной ДН, а также устойчивость решения. Для примера рассмотрим синтез плоского криволинейного излучателя. Пусть задача описывается операторным уравнением (0 = о, :з.бо) где Р - непрерывный оператор, действующий из пространства X в У; и щ принадлежат соответственно полным линейным метрическим пространствам X и У. Для прямых задач синтеза линейной антенны оператор Р полностью определяется ядром известного интегрального уравнения антенны, а функции - амплитудно-фазовое распределение тока и комплексную ДН uq - можно считать принадлежащими соответственно метрическим пространствам 72 ( Ь о) И Z/2(-(T, (Т), где 1, U2 - интервал задания о; сг - электрическая длина антенны. Известно, что большинство задач синтеза некорректно поставлены. Однако, если в пространстве X выделить компактно замкнутое множество X, то уравнение (3.2) можно решать, определяя так называемое квазирешение, т.е. такую точку irn £ X, для которой функционал (3{P,uo) принимает на X минимальное значение, где (3 - метрика пространства Y. Весьма существенно для определения квазирешения его существование для любого значения uq G У, что следует из компактности и замкнутости множества Л. Следовательно, определение квазирешения сводится к минимизации функционала /?(Р,И()) иа Л, что может быть эффективно выполне- 3.13 Д.11Я корректного решения задачи синтеза линейного излучателя по заданной ДН f{u) необходимо эффективно минимизировать сглаживающий функционал типа KU{i{x)j{u)] = R[u)- / /(а;)е dx du-r -f-a J \1{х) dx, (3.61) где а > О - параметр регуляризации; 2] - область задания ДН. Подставив в (3.60) и = й -\- а {а - 0,5(ui -Ь u2)), получим инвариантную форму интеграла с симметричными пределами. Если -г1= = Uq =1, то это соответствует заданию f{u) на физическом интервале уг-тов. Минимум функционала (3.61) существует и единственен, а амплитудно-фазовое распределение тока /а(0> определяющее этот минимум, является решением уравнения аЩ + 2 J smuo{x - (,) 1{х) dx- - J /( )e- du. (3.62) Амплитудно-фазовое распределение тока в антенне определяют также при помощи сетчатых функций. приводящих к необходимости решения на ЭВМ системы линейных уравнений. Этим методом находят токи в дискретных излучателях, располо- а значит. жепных на сегменте вместо непрерывной антенны синтезируется линейная решетка излучателей. При большой длине антенны 2сг метод сетчатых функций в некоторых случаях приводит к значительному отклонению сетчатой функции от искомого амплитудно-фазового распределения тока в из.пучателе. Эффективный метод решения уравнения (3.62) основан на идеях вариационного исчисления и свободен от указанного выше недостатка. Для того чтобы в классе функций 1п+1ц) = Ш + Ш0 (3.63) при возрастании 71 функционал (3.61) убывал, необходимо и достаточно, чтобы AMn = ant--bnt<0, (3.64) где а , Ьп - первая и вторая вариации (3.61). Тогда приходим к градиентному методу минимизации функционала (3.61), причем Пп - У 1 ()Р dx - а и и j j Ап{х)Ап{0 sin uq{x - ) dx d; - a -a bn = -2 J \Ап{х)\Чх. (3.65) 3a первое приближение целесообразно принять сетчатую функцию, получающуюся в результате решения 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [15] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |