|
| |
|
Слаботочка Книги где г, в, <р - сферическая система координат; F - вектор, поперечный по отношению к г. Если в среде имеются потери, то условие (1.12) можно заменить более простым lim гЕ= lim гН = 0. (1.12а) Г-+О0 г-*оо Следует обратить внимание на еще одно условие, которое нужно иметь ввиду при интегрировании уравнений (1.8) в областях, где находятся металлические ребра и острия. На них должны отсутствовать источники (стоки) энергии. Согласно условия Мейкснеру для этого достаточно потребовать интегрируемости плотности энергии поля в окрестности этих областей. Перечисленных выше условий достаточно для того, чтобы выполнялась следующая теорема. Теорема единственности. Неоднородные уравнения (1.8), в которых сторонние токи J, заданы и распределены на конечном расстоянии, не могут иметь более одного решения, удовлетворяющего условиям: 1) на поверхностях, где е и имеют разрыв непрерывности, должны выполняться равенства (1.10а); 2) на поверхностях, ограничивающих рассматриваемую область пространства, тангенциальная компонента Ef или Hi должна быть задана; 3) если область, для которой определяется решение (1.8), простирается на бесконечность, то поле должно удовлетворять условию (1.12) (или (1.12а) при наличии потерь); 4) на остриях и ребрах должны выполняться условия Мейкснера. Перечисленные выше условия не противоречивы и всегда существует (одно) решение уравнений (1.8), удовлетворяющее им. Отметим еще, что при отсутствии потерь в среде теорема единственности может нарушаться для внутренних граничных задач (т.е. для конечных областей, ограниченных некоторой поверхностью), если заданная частота ш совпадает с одной из резонансных частот рассматриваемой области; при граничном условии Et = О, если в п. 2 задана Ef, или Ht = О, если задана Hj. Свойство системы (1.8) сохранять свой вид при перестановке ЕН; Н--Е; £ /Li; е (1.13) называют принципом перестановочной инвариантности, оно часто позволяет сокращать выкладки при решении различных задач. Например, решив задачу определения поля по заданным электрическим токам, можно сразу написать выражение для поля, создаваемого соответствующими магнитными токами и наоборот. Следует однако при этом учитывать, что перестановка (1.13) должна также переводить граничные условия одной задачи в условия другой. Из уравнений Максвелла (1.8) легко получить закон сохранения энергии - комплексную теорему Пойнтинга - i I Е j; dv = Js ds+ -fy У (ЯНН* -£EE)c/t-+ + J iJfb. (1.14) Здесь V - область, ограниченная поверхностью s; Jjr = 3 + сгЕ = сг(Е4-Е) - полная плотность тока, равная сумме плотностей стороннего тока и тока проводимости; S = 0,5[ЕН*] - комплексный вектор Пойнтинга, представляющий собой плотность комплексного потока мощности; последний член в (1.14) равен средней (за период) мощности, расходуемой в объеме v на джоулеву теплоту; е вещественная часть £ (1.9); * - знак комплексного сопряжения. Из (1.8) можно получить так называемую лемму Лоренца, которая широко используется в электродинамике и теории антенн. Применительно к двум полям El, Hi и Е2, Н2 одной и той же частоты ш, возбуждаемым сторонними токами Ji, Jf и J2, J2 соответственно, лемма имеет следующий вид: {[Е1Н2] - [Е2Н1]} ds = (1.15) = y (JiE2-J2Ei-f JjHi-JfH2)(ii, где ds = nds; n - внешняя no отношению к V нормаль к поверхности s. Эта лемма справедлива для любой неоднородной среды, например, когда V все бесконечное пространство, лемма (1.15) сводится к следующей: У (JiE2-J2Ei+J2Hi-JjH2)dv = 0, так как интеграл по бесконечно удаленной поверхности, ограничивающей Voo, обращается в нуль вследствие (1.12); условия для Н аналогичны. При наличии потерь это сразу следует из (1.12а). Из последней леммы получаются теоремы взаимности для электрических диполей с моментами pi и Р2, магнитных с моментами mi и тпо и одного электрического pi и магнитного га2 соответственно Р1Е2 = P2E1; miH2 = Tn2Hi; (1-16) P1E2 = -m2Hi. Векторы поля в (1.16) берутся в точках нахождения диполей, на моменты которых и умножаются. Из леммы Лоренца следует теорема взаимности для любых двух антенн 1.4] £:(i)ji = £:(2)j2. (1.17) Здесь £Ы - полные ЭДС на клеммах первой и второй антенн в режиме приема; Ji и /2 - токи, протекающие через клеммы этих антенн в режиме передачи. (Внутренние сопротивления генератора и приемника, подключаемые к антенне в этих режимах могут быть различными.) Из уравнений Максвелла можно получить [1.5] еще одну так называемую сопряженную лемму . Когда в среде отсутствуют потери, а, следовательно, £ = £ и /i = /i, т.е. jd = е - = О (1.9), эта лемма имеет вид {[EiH*] + [E*Hi]}d8 = = - y (JiE*4-JSEi+JfH*+JrHi)rfv, (118) где все векторы имеют тот же смысл, что и в лемме Лоренца (1.15). Сопряженная лемма бывает полезна при рассмотрении некоторых задач электроники и антенной техники. 1.3, Краевые задачи электродинамики первая внешняя краевая задача электродинамики (кзэ) сводится к определению поля е, н во внешней области Ve, ограниченной изнутри замкнутой геометрической поверхностью S, по заданным на ней значениям тангенциальной составляющей Et = е. последняя является предельным значением et при стремлении к s со стороны Ve- поверхность S может быть многосвязной. полагаем, что в области Ve источников токов нет. из теоремы единственности следует, что эта задача имеет одно решение. Теорема 1.1. поле Е, Н в области Ve тождественно с полем е\ н\ возбуждаемым поверхностным магнитным током с плотностью = fen (1.19) нормаль к S, направленная внутрь Ve), распределенным на внешней стороне поверхности s, которая при этом считается обладающей бесконечной электрической проводимостью. последнее означает, что поле е, возбуждается совместным действием магнитного тока и наводимым им на внешней стороне идеально проводящей поверхности s электрическим током. поле е\ в области г;;, т. е. внутри S, будет, очевидно, тождественно равно нулю. Доказательство. поля е, н и е, не имеют источников внутри Ve, поэтому для того, чтобы они совпадали в области Ve, необходимо и достаточно выполнение равенства е = Е} на s. последнее следует из того, что е = е на S, а условие скачка для е при переходе через S дает (1.10) Е] = [пк на S, так как ej = о на s (поскольку источники е, находятся снаружи идеально проводящей поверхности s). подставляя значение к из (1.19), получаем Е] = [пк] = [п.[еи]] = е на S. теорема доказана. первая внешняя кзэ сведена, таким образом, к задаче о возбуждении идеально проводящей (электрически) поверхности s заданным на ней магнитным током = [еп . вторая внешняя кзэ сводится к определению поля е, н в области Vg, ограниченной изнутри поверхностью S с по заданным на ней значениям = ь. для этой задачи справедлива теорема. теорема 1.2. поле е, Н в области Ve тождественно совпадает с полем е, н, возбуждаемым поверхностным электрическим током с плотностью к = [uh], распределенным на внешней стороне S, которая при этом считается обладающей бесконечной магнитной проводимостью. этот ток к возбуждает на S магнитный поверхностный ток, совместным действием которых и определяется поле е, . в области Vi это поле равно нулю. смешанная внешняя кзэ сводится к нахождению поля е, н в области Vg, ограниченной изнутри поверхностью S, по заданным на ней составляющим: ef=eHasi; hj=h,Has2; 1 + 2 = s. для этой задачи выполняется следующая теорема. теорема 1.3. поле е, н в области Ve тождественно совпадает с полем е, н, возбуждаемым поверхностным магнитным током, распределенным с плотностью к = на Si и поверх- ностным электрическим током, распределенным с плотностью к = [nh] на S2- считаем, что поверхности si и S2 1 [2] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |