Слаботочка Книги где Е - поверхность (могущая частично совпадать с s), охватывающая множество dq; r = \r - r\; г - радиус-вектор точки наблюдения; г - радиус-вектор точки на S; тг - вектор единичной нормали, направленный из do; к - волновое число в Ж* \ £>о- Аналогично соотношение и для вектора Н. В двумерном случае имеет место полная аналогия, за исключением того, что функция Грина свободного пространства не exp{-ikr)/r, а {l/ii)hi\kr), где н - функция Ганкеля второго рода 0-го порядка :б.2]. Выражения типа (6.2) используют для сведения граничных задач электродинамики к интегральным уравнениям первого рода с гладким ядром (метод вспомогательных токов (МВТ) 6.3]). Например, подобное уравнение в трехмерном случае относительно электрического тока (иногда может оказаться более предпочтительным уравнение относительно магнитного тока) имеет вид = -{п X Е°(т)); ves; zo = \/-(6.3) В двумерном случае подобное уравнение относительно плотности потенциала простого слоя выглядит следующим образом [6.2]: -jl{a)h\kr)dcT = -u\v); ves. (6.4) Уравнения вида (6.3) или (6.4) разрешимы (и притом единственным образом), если поверхность (контур) Е охватывает множество dq особенностей дифракционного поля [6.3]. Это условие не только достаточно, но и необходимо. Эти уравнения в принципе допускают строгое решение. Напри- мер, в приведены точные решения (в виде рядов по функциям Матье для токов на вспомогательном контуре) уравнений (6.4) в задачах о рассеянии плоской волны и поля нити тока на эллиптическом цилиндре с граничными условиями Дирихле и Неймана. Для большинства же практически интересных случаев эти уравнения должны решаться численно. Один из наиболее распространенных способов решения уравнений (6.3) и (6.4) заключается в замене интегралов в них суммами (например, по формуле прямоугольников) и приравнивании левых и правых частей на дискретном множестве точек (в точках кол-локации) на 5 . Такой вариант МВТ, известный под названием метода дискретных (или вспомогательных) источников (МДИ) был предложен В.Д. Ку-прадзе [6.4]. Алгоритмы, построенные на основе такого подхода, весьма просты [6.5] и обладают хорошей сходимостью. В [6.6] показано, что при прочих равных условиях МДИ, являющихся одним из вариантов метода неортогональных рядов, - один из наиболее быстродействующих среди проекционных методов. Указанное выше условие охвата поверхностью Е множества dq носит отнюдь не формальный характер. В 6.7] показано, что при невыполнении этого условия экспоненциально растет норма тока J \1{(т)\й(т, а, следователь-S но, происходит разрушение вычислительного алгоритма [6.5]. Для кусочно-аналитической границы S точки множества dq попадают и на S. При этом поверхность Е, расположенная целиком внутри s, часть точек множества dq не охватывает. Помочь преодолеть трудности в подобных ситуациях позволяет подход, предложенный в [6.8]. Суть его заключается в том, что вместо решений точных уравнений (6.3) или (6.4) находим токи, определяющие минимум функционала f \F + 5/р ds, где S - оператор уравнения (6.3) или (6.4); F - правая часть при дополнительном условии / /(о-)р dcr = const. Для искомого тока / получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода XI + tl + B = Q, (6.5) где f - самосопряженный вполне непрерывный оператор [6.8]; В = S*F. Уравнение (6.5) позволяет решить указанную выше проблему, пожертвовав точностью расчетов. 6.2. Классические аналитические представления полей Интегралы плоских волн (интегралы Зоммерфельда и Зоммер-фельда-Вейля). Как известно (см. гл. 1), электрический (П) и магнитный (П) векторы Герца удовлетворяют уравнению Гельмгольца ДП + А;2П = J, (б.б) в котором J = {i/u)e)3 - для и J = {i/u}fi)3 - для П. Векторное поле J описывает источники, распределенные в области V (под V может пониматься область D внутри антенны или ее граница s). Решая (6.6) методом преобразования Фурье [6.9], получаем X exp(-iwia; - iu2yT izyjk -ujl~ijjl)duidu2, (6.7) f±(wi,a;2) =J 3{r)exp {iuJix+ Muj2y ± izy/k ~ujj-uil) dV, (6.8) причем Jk-u;l-u;i = -iJu;l+u;l-k при ujj +ш1 > fc2. в (6.7) и (6.8) положительные знаки следует взять при Z > а, & нижние - при z < -b, где а - максимальная; -6 - минимальная аппликата области V. Заменив в интегралах (6.7) и (6.8) переменные uji = к sin а cos /?; Ш2 = = А; sin а sin Р, можно привести их к следующим соотношениям [6.9]: 2тг 7г/2+1оо о о X exp{-ifcr[8insinQ; cos(</> - l3)± ±coscosa]}sinafl(ad5; (6.9) F±(a,) = = f ± {k sin a cos P, к sin a sin P) = ib J(T)exp{ifcr[sin .sin ax X cos{tfi - 13) ± cos 9cos a]} dV. (6.10) В (6.9) и (6.10) введены сферические координаты точки наблюдения г, 9, (р, связанные с х, у, z соотношениями X = jsincos; у = г sin sin ; Классические аналитические представления полей Z = rcos, и точки интегрирования г, в, if (т £ V) - х = гвт6совр\ у = г sin в sin if; z = г cos 9. При -+ 00 интеграл (6.9) можно оценить методом перевала [6.10], тогда f 1 \ (6.11) где F{e,p) = F+{e,<p). Из (6.11) видно, что ¥{9,р) - ДН источников J, локализованных в области V. с учетом (1.31), а также (1.36) для диаграмм Ъа{9,(р) и Rq{9,p) электрического и магнитного полей соответственно будем иметь Ео(а,/?) = 47гг J е -q(q.J(r))]-(qxJ(r))}x V -q(q-J(r))] + (qx J (tO)}x xeivUV, (6.12) где q = {sin a cos/?, sin a sin/?, cos a}; V = Ul/. Напомним, что в (6.12) под объемными плотностями токов J,J можно понимать обобщенные функции r{v)6{S)\ J(t)6(5), где (5(5) - дельта-функция, сосредоточенная на поверхности S [6.11]. В результате интегралы по V заменятся интегралами по S. Диаграммы F(a, (3), Ео(о:, /?), Но(а,;5) являются (как следует из (6.10) и (6.12)) векторными целыми по а функциями [6.3], т.е. они продолжи-мы как регулярные функции на всю комплексную плоскость а = а\-\- ia2. Пусть W = Qexp(-iai); Q = е 2, тогда F(a,/?) = F(t.,/?)(l+0(l/g)); (6.13) F( ,/3) = iyj(.)exp{i X [соав -ь i sin в со8(/? - <p)]j dV (6.14) - векторная целая (по переменной w) функция экспоненциального типа. Все сказанное выше справедливо и для функций Ео, Но, поэтому Б дальнейшем при рассмотрении всех вопросов, связанных с аналитическими свойствами ДН, будем иметь дело только с функцией F(a,/?). Границы областей сходимости классических аналитических представлений и, в частности, представлений Зоммерфельда-Вейля, удобнее устанавливать, введя функцию [6.9 G(u;) = jF{wJ)d/S. Опреде- лим степень as функции G{w) на контуре Зоммерфельда-Вейля, т.е. при W = -iQ; Q оо при помощи соотношения [6.9 as - lim Q-*oo In max G(-iQ) (6.15) Тогда интеграл (6.9) (при выборе верхних знаков) и аналогичные интегралы полей Е(г), Н(г), в которых вместо F(q:,/?) должны стоять соответственно функции Ео(а, /?), Но(а, /5), сходятся [6.3] и [6.9] при г = tcos > > 2as/k и расходятся при z < 2as/k. Поскольку интеграл (6.9) в области своего существования удовлетворяет однородному уравнению (6.6) и условию излучения, то векторные поля П, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |
|