|
| |
|
Слаботочка Книги Е, регулярны вне полупространства z2as/k. (6.16) Вне полупространства (6.16) поля Е и соленоидальны, т.е. (VE) = (VH) = 0. 1\ (6.17) Величина as зависит от ориентации системы координат относительно множества V. Можно показать 6.3], что множество Во, являющееся пересечением полупространств (6.16) для всех вращений системы координат, есть наименьшее выпуклое замкнутое множество, вне которого поля П, Е\ регулярны, значит Во - выпуклая оболочка особенностей полей П, В двумерном случае волновое поле ii{r, if) представимо интегралом Зоммерфельда м(г, р) = TT+ioo (6.18) = J f{ip)exp{-ikr cos{(p - ф)} ([ф, -100 сходящимся при у = rsiikfi > 2as/k и расходящимся при у < 2as/k. В области вне полупространства У 2as/k (6.19) волновое поле и{г,(р), представленное интегралом (6.18), удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и условию излучения, в частности. а(г, <р) = = /5e~/(.)(l+0( кг > 1. кг, (6.20) Из (6.20) видно, что f{<p) - ДН волнового ПОЛЯ w(r, (), представимая интегралом - и- дп дп X expji/;?- cos{(p - ф)] ds. (6.21) Функция f{ф) продолжима на всю комплексную плоскость ф=:ф[-{-1ф2 , а при t/2 I ~ удовлетворяет асимптотическому равенству /(-0) = f[z)x x(l-f-0(l/Q)), в котором Q = ехр{\ф\)] Z = qехр{-1зф[); s = Ф2/\Ф1\; [ди д - и- дп дп X ехр / iki ге** ds (6.22) - целая функция конечной степени 6.2]. Величина, входящая в неравенство (6.19) as = max[/?.+ (0); Д (-7г)], где н±(в) - индикатрисы роста [6.12 функций f{z) при s = ±1 соответственно. Определим зависимость as от угла 7 поворота системы координат (j5(r) =тах[/1+(7),/г (-7г-7)]. (6.23) В системе координат, повернутой на угол 7, поле и{г,(р) будет регулярным всюду вне полупространства Уу 2asb)lk. (6.24) Множество Во, являющееся результатом пересечения полупространств (6.24) для всех углов 7, есть выпуклая оболочка особенностей волнового поля u{r,(f) [6.3 . Интеграл (6.18), п15еобразованный к виду [6.13 (r,vp)= (6.25) 7г/2+1со = ~ / f[p-\-ф)qxp{-\krcosф)dф, тг J -7г/2-1оо сходится при всех (г, р) из области E2\So. Если ДН задана в явном виде, то соотношения (6.15) и (6.23) позволяют легко найти величину (75, а, следовательно, и локализовать множество Бо. Если же речь идет о задаче дифракции, когда возникает необходимость нахол<дения множества bq до ее решения, то величина ds молет быть найдена при асимптотической оценке интегралов (6.14) и (6.22). Например, для задач рассеяния плоской волны на телах с аналитической границей могут быть получены следующие соотноше- 6.2]: в двумерном случае as - max Ее{Ф(?о)}; Ф{р) = 0,5A;/?(v?)exp{i5(v?- 7г/2)}, (6.26) где pq - корни уравнений =<Ро = -it/.; ехр{18ф(ро) = 0; г = р[(р) - уравнение границы 5; в трехмерном случае as = max Re {Ф(о, Vo)}; ф(,) = Мехр(1.); . = ±1, (6.27) где oq, (pq - корни уравнений exp(iso) = 0; (6.27a) r - p{b, p) - уравнение границы s. Рассмотрим несколько примеров нахождения множества bq. Пример 6.1. Пусть д{р) - - ехр(-cos 1) ехр(-Asin), тогда g{z) = exp(-A/2)exp{(A + ifc/i)V2}, откуда (см. (6.23)) 5(7) = А\ COS7I/4 - (/isin7)/2, т.е. bq: X = h\ \у\ А/2к. Пример 6.2. Рассмотрим дифракцию П.110ск0й волны на цилиндрических телах с направляющей s, либо на телах вращения с поверхностью 5. Многолистник: р(р) = а + Ьх X cos тр, тело вращения р{9,р) = а+ +Ь cos тв; а > 6 > 0; ш = 1, 2, 3... Для 77? > 1 величина в трехмерном случае; (s - \ а max (7=0,77г-1 . 2Trq sin- в двумерном случае, ка г (/77 - 1) -Ь А , /т{т - 1) 2 ( 777. - 1)А V А (6.28) причем т= ; А=1 + \/1 -f- v{m - 1). Случай 777 = 1 может быть получен из (6.28) предельным переходом. Эллиптический цилиндр: уравнение направляющей р(р) = = а/ \/1 - ccos и сфероиды р{9, р) = = а/[1 - £sh-i{9 - Р7Г/2)], где а - малая полуось; s = y/l - a/b - эксцентриситет; 6 - большая полуось, р = о для сплюснутого и р = - 1 - для вытянутого сфероидов. Для э.ллиптического цилиндра и сфероидов получим соответственно as{y) = бг! sin7/2; as = -pkbe/2. Трехосный эллипсоид: x /a--f +y-/b + z jc - 1 . при a > 6 > с. Решая уравнения (6.27а), получаем (см. (6.27)) Ф(о,Ы = с2-а72, (6.29) откуда = 0. Совмещая ось z со средней и меньшей по значению осями э.ллипсоида, найдем = кх/ь - с72; as = к\/а?-с/2. Поступая аналогично, получаем, что множество Во в рассматриваемой задаче есть эллипс в плоскости XOY с полуосями л/а - и \/Р - с. Другие примеры можно найти в [6.2 . Ряды плоских волн (ряды Рэлея). Эти представления применяют при решении задач, связанных с возбуждением периодических решеток и поверхностей. Рассмотрим периодическую решетку (поверхность), возбуждаемую волной с плоским фронтом так, что в точке {х,у) плоскости z = О набег фазы составляет -ikx sin 9 cos (р- -iky sin 9 sin (p. Пусть поверхность решетки задана уравнением z = S{x, у) = = S{x + b,y + d), где b, d - периоды вдоль осей X пУ. Тогда поле над поверхностью (это будет уточнено ниже) представимо в следующем виде: П(г) = ibd S т= -оо п = -с goo(ii = -oon = -oo Vk-Im- X ехр { - ixwim - iyw2n--izyfkwj-wj}, (6.30) , л wim - -m -\- к sin 9 cos (p; b 27Г , . , . W2n = -гП + к Sin 9 sm ip\ d доо(го1,г£;2) = 6/2 d/2 j j 3{x,y,S{x,y))x -6/2-d/2 X exp {iwix + iw2y-\-+iS{x, y)yjk - wf- wl) X x\ 1 + fds; \dy) dxdy (6.31) - диаграмма центрального элемента решетки (периода). Напомним, что если в (6.31) под J понимать iJ*/w£, то ряд (6.30) представляет П, а если J = iJ/w, то - вектор П. Из (6.30) с использованием (1.22), (1.25) получаем выражение для полей и Н. Можно показать (см. [6.14]), что ряд (6.30) и аналогичные ряды для полей Е и сходятся при z > 2(Ts/k и расходятся при z < 2(Ts/k, где as - степень диаграммы goo была определена ранее. В двумерном случае для волнового поля и{х,у) на периодической поверхности у = S{x) = S{x + b) имеем и{х,у) = Г 9o{Wm) X (6.32) m=-oo exp{-ixwm - iy\/k - ц} s/k - w где Wm - 2Kmjb -f- к sin 9\ 9o{w) = -6/2 y=S(x) X exp {iwx + iS{x)\/k - w}x xVl + S{x)dx - диаграмма центрального периода (элемента). Часто в (6.32) используют коэффициенты рассеяния вида 2 go{wm) Rm - Т В задачах дифракции плоской волны на периодической поверхности предположение о справедливости разложений (6.30) и (6.31) вплоть до впадин поверхностей называют гипотезой Рэлея [6.2], которая справедлива в том и только в том случае, когда minS(x,y)>2(Ts/k. (6.33) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |