|
| |
|
Слаботочка Книги Рассмотрим два примера. пример 6.3. Поверхность у = = s{x) = acospx; а > 0; р > q, тогда 6.141 0-5 = ка \\/т+а 2 L ар 1 1 + у/1 + а V Условие (6.33) принимает вид неравенства < In-)L--yl + aV, имеющего рещение: ар < 0,447743 ... пример 6.4. Поверхность у = = S[x) задана параметрически (циклоида): X = a(t + Tcost); у = avsini; О < г 1, тогда (75 = ка{1 + 1пг)/2. Условие (6.33) приводит к неравенству 1 4- In г < -т, имеющему рещение т< 0,2784613... Интересно отметить, что для поверхности, являющейся отражением рассматриваемой относительно плоскости xoz, гипотеза Рэлея справедлива всегда. 6.3. Ряды по волновым гармоникам и ряды Уилкокса-Аткинсона. В прикладной электродинамике и теории антенн часто используют ряды по волновым гармоникам и Уилкокса-Аткинсона [6.15 00 п п=0 m=:-n X P (cos% ; En(,V) (6.34) (6.34a) Здесь 2n + 1 (n - m)! 27Г ж \J J ео{в,р): 47Г (n + m)\ 0 0 xP (cos%- sinededip; hi\kr) = ,/щщн1,1{кг) - сферические функции Ганкеля; Р(со8) - присоединенные функции Лежандра [6.16]; Eo(,v) - диаграмма волнового поля Е(г), через которую коэффициенты En выражаются следующими рекуррентными соотношениями 6.151: (sino.)+ = r(V-Eo); -2i7i£\ +i),. = n{n - \ )enr + оегьг\ n= 1,2,3...; -2inene = = n{n-l)eri-i)e + den~i)e + deen-i; n = l,2,3...; -2inen,<p = = n{n-l)eri-i)<p+den-i)y,+den-i; n = 1,2,3..., d = -r-- ( sm- -t- sin 9 d$ 89 smhdp - оператор Бельтрами; L>, - линейные операторы 1-го порядка, переводящие векторное поле F = Frir+ +fgig + ftpitp в скалярные функции: dgf = 2 2 cos 9 df, smy dip dfr 89 2 dfr 2 cos 9 dfg 4> . shr9 sm9 dip 4> 9 dip sin9 Аналогичные разложения имеют место и для векторов магнитного поля и векторов Герца П, П. Рассмотрим теорему, приведенную в [6.15]. Пусть fiv) - векторная волновая функция, удовлетворяющая векторному уравнению Гельмгольца АЕ -(- Е = О и условию излучения lim 7-[г,. X (V X E)-iA:E] = 0; г-*оо ir = т/г (равномерно по г,.) в области 7 > а, где (?, 9, р) - сферические координаты. Тогда для Е(г) ряды (6.34) справедливые при г > а, равномерно и абсолютно сходятся по переменным г, 9, р -& любой области г а -(-£ > а. Ряды (6,34) можно дифференцировать почленно по 7 , 9 ш р любое число раз, причем получающиеся в результате ряды сходятся равномерно и абсолютно. Величина а = 2(т/к (см. [6.17]), где по определению In max G(a;) a = lim Справедлива формула сг = max (o,Vo), где 0, Pq, s определены в (6.27). Тогда сг = lim G(u;) - степень диаграммы Eo(,v?) (a также Ho((9,v), f(9,p)) [6.9], например для сфероидов (сплюснутого и вытянутого) сг = кье/2, для трехосного эллипсоида сг = kj - с. Отметим, что при г < 2(т/к ряды (6.34) расходятся [6.17]. Предположение о сходимости ряда (6.34) вплоть до поверхности s рассеивателя (антенны) называют гипотезой Рэлея [6.2]. Из изложенного ясно, что гипотеза Рэлея справедлива в том и только в том случае, когда выполняется неравенство сг < кгтт/2, где Гтт = min Г. в сферической системе координат удобнее использовать разложения по векторным гармоникам [6.18]. Берем систему производящих функций, удовлетворяющих скалярному уравнению Гельмгольца в сферических координатах: Фетп = zn{kr)pi{cos 9) COS тр] фотп = zn{kr){cos 9) sin тр, где zn - любая из сферических бесселевых функций [6.16] (например, hn). Векторные сферические гармоники, порождаемые фетп и фо тпJ имеют метп = V X {тфетп); мотп = V X {гфотп); етп, Эти функции удовлетворяют векторному уравнению Гельмгольца, их дивергенции равны нулю. Ряды по векторным волновым гармоникам обладают всеми свойствами рядов (6.34). В двумерном случае изложение может быть перенесено на представления волнового поля и{г, р) рядами по волновым гармоникам вида и{г,р)= Y1 an{-ir hi\kr)e, (6.35) n = -оо где an = ifl /(V)e-- с1ф. о Коэффициенты а можно найти по заданной диаграмме g{tp). Если последняя определяется решением соответствующей краевой задачи, то коэффициенты йп лишь указывают на связь, существующую между коэффициентами Фурье диаграммы и коэффициентами разложения (6.35) поля по волновым гармоникам. То же справедливо и для разложения (6.34). Так же, как и ранее, ряд (6.35) с коэффициентами сходится при г> 2а/к и расходится при г < 2а/к, причем в области г 2(сг + е)/к этот ряд сходится равномерно и абсолютно. Величина Введя оператор сг = lim In max \f(z)\/Q = max Ее{Ф(<,го)}. Например, для многолистника величина сг может быть найдена из (6.28). Другие примеры можно найти в [6.2. Иная ситуация возникает при рассмотрении разложения Уилкокса в двумерном случае: разложение и{г,р) п=0 (6.36) является лишь асимптотическим [6.17 и нигде не сходится (кроме бесконечно удаленной точки). Здесь ао{р) - д(р п=1,2,3... Рп = /i\ l m=l L  можно разложение (6.36) записать в виде w(r,v?) тткг Напомним, что для определения границ областей существования большинства аналитических представлений волновых полей достаточно знать расположение особенностей поля с точностью до их выпуклой оболочки Bq. Лишь при использовании представлений полей при помощи волновых потенциалов может возникнуть необходимость в локализации самого множества особенностей Aq. Нахождение выпуклой оболочки Во множества особенностей поля осуществляется методами, указанными выше (см. (6.26) и (6.27)). Точная локализация множества особенностей Aq волнового поля осуществляется весьма просто при решении обратных задач, т.е. когда диаграмма Y[9,ip) или Ео(,<) задана (см. § 5 в [6.19]). Что касается локализации множества Aq , когда диаграмма а priori не задана, то это - более сложная задача (в двумерном случае решение этой задачи указано в [6.2]). Для трехмерных задач решение проблемы локализации множества Aq указано в [6.20 . 6.4. Функции Грина Фундаментальное значение при формулировке и решении краевых за- 6.21 т.е. дач имеет функция Грина решение уравнения Гельмгольца или системы Максвелла при 6-образном ис- точнике. При этом различают функцию Грина свободного пространства (т.е. удовлетворяющую помимо уравнения лишь условию излучения) и функцию Грина краевой задачи, удо- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [27] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |