|
| |
|
Слаботочка Книги влетворяющую тем или иным краевым условиям. Функция Грина для свободного пространства легко может быть получена при решении исходного уравнения методом интеграла Фурье. В результате получаем, что функциями Грина, удовлетворяющими условию излучения и уравнению ag{r I Го) + pg{r I Го) = -6{г - tq) в двумерном и трехмерном случаях, будут 6>го) = Я (г-то); g{v I го) = у g-iA;T-To Г - То (напомним, что зависимость от времени выбрана в виде exp[iu!t)). Эти функции можно представить в виде непрерывного спектра плоских волн (6.9), (6.18) TT + ioo -100 X cos( :f ф) -f- ikro cos(o Т Ф)] дф]
2ж 7г/2+1сх) = J J exp(-ik±r + ik±ro)x X sin a dad(3; k±T = r[sin в sin a cos[ip - j3)± ± cos в cos q к±го = ro[sin 0 sin a cos(v7o - /)± ± cos 0 cos a Верхние знаки берутся при у > уо п Z > Zq соответственно, а нижние - при у < Уо и Z < Zq. Можно записать эти представления в виде дискретного спектра волновых гармоник (6.34) и (6.35) [6.10]: г - Tol) = 17 е -4(Ь<)Я;;(Ь>)е-(-°); п = -оо 1 g-i(fcT-ro) - А 2 - sprn ~ 4жг 2п + 1 4тг \г - Го xP(cos b)pl{cos9o) cos m{(p - po), где 7< и r> - меньшее и большее из значений координат г, 7*о. Иногда вводят в рассмотрение тензорную функцию Грина, удовлетворяющую уравнению [6.22 v XV хд-кд=~16{т-го), где i - единичный тензор (диада). Выразим тензорную функцию через скалярную d = C!+vv/k)g, где VV - диада, образованная из операторов V. При исследовании периодических структур задачу, как правило, сводят к одному периоду. Здесь уместно ввести в рассмотрение периодическую функцию Грина [6.23], которая имеет следующие представления в двумерном и трехмерном случаях (сравним (6.30) и (6.32)): 1 ~ gp{r \vq) = -- exp{-i(a;-a;o)гi;ш- m=-оо у-уо\к-и}/у/р-; gp{v I то) = 1 2ibd Щ ехр {-i(a;-xo)u)b - 77г = -оо п = -оо - yo)W2n -\\z- Zq Xy/k-wl-W2n}/y/k-wf-wl; Функции Грина краевых задач описаны в литературе весьма ограничено. Приведем несколько примеров. Функция Грина кругового цилиндра, удовлетворяющая краевому условию g{v I го)г=а = О, имсет вид g[r\ro) = h\k\v-vo\)+ 4г i Jn{ka) Я(=)(Ь- )Я(=)(Ь-)х -in(ip-ipo) Второе слагаемое может быть переписано в виде асимптотического ряда Ватсона [6.10], быстро сходящегося при ка 1. Функция Грина клиновидной области, удовлетворяющая краевому условию g{v I го)<,о=о,а = О, имеет вид 6.101 g[t 1 Го) = 1 + j н\кг + + 2rrо COS w)x - lOO xa{(p, (po; w) dw, (6.37) где u{x) = I J 1 при X > 0; при х- < 0; - loo a{p,po;w) = 2 J fi{l-e--)x -i2 (-w) sin{pp<)sin{fi{a-ip>)) sin fia причем < и - меньшее и большее из значений координат р и ро. Интеграл в последнем выражении существует при 1 - о > тг, однако вычисляется в явном виде и допускает аналитическое продолжение всюду, кроме полюсов функции a{p,po;w). Первый член в (6.37) равен вычету в полюсе функции а{р, ро; w). Другой полюс соответствует отраженному полю в гео-метрооптическом приближении. Функция Грина идеально проводящего шара радиусом а, т.е. поле электрического диполя с радиально ориентированным моментом ро, расположенного в точке г = ?о > а, 0 = 0. Компоненты функции Грина выразим через потенциал Дебая v: gr{v \vo) = ge(r I Го) = - / д- л 1 дч г дгдв g{r Го) = --к-, г sm в drop причем 6.24 Сро v- {2up + 1) hil\kro)h\l\kr)p,{-cos9) hil\ka)£h}{ka)l Поле элементарного диполя вблизи плоской границы раздела двух сред. Пусть плоскость z = о является общей границей среды ( > 0) с материальными параметрами Si, pi и среды (2 < 0) с параметрами ео, Р2- Поле элементарных электрического и магнитного диполей с моментами и р соответственно, расположенных в точке с декартовыми координатами Жо, t/o, о > О, определяется приведенными ниже соотношениями. В области 2-0: Е1(г)=7г(г,го)р+7.(%*о)р Hi (г) = Т?. (т, го)р + ro)p В области г 0: Е2(г) = t*(r,ro)p + t(r,ro)p H2(r) = t (r,ro)p + t(r,ro)p Операторы r имеют следующие представления: ПЦг,го) = = R(r, го) + :-{Н + VV)Goi(r, то); = R(r, то) + -(-r + VV)Goi (г, ro); = REM(r,ro)-VxGoi(r,ro); = R =(r,ro) +V X Goi(r,ro); g-ifcir-ro Goi(t, t*o) = T - 1*0 Декартовые составляющие матриц R И Т находятся при помощи соотношений  exp[-iu;i(a; - Jo)- - со -iw2{y-yo) - m{z + Zo) xrap{wi,W2) dwidwo, a/3 exp[-iwi(x - xo) - -iw2{y - Уо) + iv2{z - Zo)[ Xtafdiwi, 12) dwidw2\ a = x,y,z; I3 = x,y,z. (6,38) В выражениях (6,38) Vj = у kJ - wl - wj; imvj 0; kj = uj/eJJIJ; i = l,2; [{kl-wD xz - IW1W2 ~ xy lu;/ii f-yx - Чу ~ yx tzl3 = {Witj;p + W2tyi3)/V2] = -Hv,-v..)zo. l3=X,y,Z] a = x,y; (3 = x,y,z] .д = ( ir + 2rj)/i; (6.39) (6.40) Kx = V 22/ €2V2 (kl-wD+ikl-wl) C2V2 Г 2 2 Л , 1Л (2 - l)l V £22 / U;/ii£:2W2 гугУз - {kf - wl){k2 - tyf) U;2/ii£2tl2 £22 J V £2;2 CiVi X 1 + b2 - {kj-wl){kl-wl) UJfll€2ViV2 \kl - wl) {kl - kl)ei UljJiie2V2 . 11 11.2 2x1 1 -Щ-2) \] Д, = £22 г2А*1/ K + .2)(i + £i) \ 22/ \ 2, £1,2 \ e2V2 J a могут быть получены из ay при 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |
||||||||||||