Слаботочка Книги обладают бесконечной электрической и магнитной проводимостями. Доказательства теорем 1.2 и 1.3 аналогичны доказательству теоремы 1.1. Подобно трем внешним краевым задачам могут быть сформулированы соответствующие внутренние краевые задачи. При этом вместо Vg рассматривается внутренняя область Vi, ограниченная снаружи поверхностью s и вместо внешних предельных значений Е, Hf в них фигурируют внутренние Е, Н(. Для этих задач также справедливы теоремы 1.1-1.3. В отличие от внешних краевых задач, для внутренних может нарушаться единственность решения, если потери в среде, заполняющей Vi, отсутствуют и заданная ча- стота UJ совпадает с одной из резонансных частот внутреннего резонатора с краевыми условиями EJ = О на s для первой КЗЭ; Щ = О на s для второй КЗЭ; Ej = О на si; HJ. = О на S2 для смешанной КЗЭ. В этих случаях к решению могут быть добавлены линейные комбинации соответствующих собственных колебаний внутреннего резонатора, не нарушающих заданные краевые условия задачи. При этом поля типа Е Н; Е, Н; Е, Н, фигурирующие в теоремах 1.1-1.3, для внутренних задач остаются конечными, так как возбуждающие их токи ортогональны к соответствующим собственным колебаниям резонатора [1.6 1.4. Теорема эквивалентности и эквивалентные токи Из рассмотерния КЗЭ и теоремы единственности следует, что поле в области V однозначно* определяется заданием Е или Н< на поверхности s, ограничивающей v. Одновременное задание Et и Ht на S не может быть произвольным, так как одна из этих величин определяет другую. Однако на практике нахождение поля в результате решения первой или второй КЗЭ весьма трудно для более или менее сложных поверхностей s. Задача резко упрощается и могут быть написаны общие формулы для поля, если заданы на S обе составляющие Et и Ht. Теорема эквивалентности. Пусть поверхность s разделяет пространство на две области Vg и Vi и все источники поля Е, Н сосредоточены в области Vi. Если Ef = е и Hf = К на S, то поле Е, Н, возбуждаемое распределенными на s электрическими и магнитными токами с плотностями * Возможные исключения указаны выше. К = [nh] и К = [пе] (п направлен внутрь ге) совпадает с полем Е, Н в области Ve и равно нулю в области Uj. Одна или обе области Vg и г могут быть бесконечными. Среда, заполняющая их, в общем случае неоднородна. Полезно отметить, что если среда внутри Vg однородна, то при расчете Е, Н по токам К и К можно все пространство Vg -(- Vi считать однородным с параметрами среды Vg. Наличие не-однородностей внутри Vi не скажется, так как поле Е, Н в области Vi равно нулю. Введенные токи К и К также называют эквивалентными. Доказательство. Теорема эквивалентности следует, например, из теоремы 1.1. Действительно, поскольку Щ (= е) задано на s, то на основании теоремы 1.1, поле Е, Н в области Vg совпадает с полем, возбуждаемым магнитным током, распределен- на S, ным с плотностью К = в предположении, что последняя идеально проводящая. Но тогда, как уже указывалось выше, это поле возбуждается совместным действием тока и электрического тока К, наведенного на S. Из первого выражения (1.11) плотность электрического тока К = = [пН*] = [пН]. Теорема эквивалент- ности доказана. Равенство нулю поля Е\ в области Vi очевидно, так как это поле не имеет там источников, а поверхность S при его расчете предполагается идеально проводящей. 1.5. Решение уравнений Максвелла при помощи вспомогательных потенциалов Рассмотрим однородную среду, в которой отсутствуют магнитные токи. В этом случае поле может быть выражено при помощи векторного и скалярного потенциалов H = iw£rotn; Е =/гП 4-gradt/, (1.20) которые удовлетворяют одному векторному уравнению Vn + kU-giSLd(U-diwU) = -Д-. (1.21) Таким образом, при любых П и и, связанных равенством (1.21), поле (1.20) удовлетворяет уравнениям (1.8), где = 0. Поскольку (1.21) может определить J только при скалярных неизвестных, а у нас их четыре - U и три компоненты П, то к (1.21) можно добавить еще одно скалярное равенство в значительной мере произвольное: t/-divn = О, тогда получаем Е = grad div П + )ЬП; (1.21) H = iw£rotn; (1.22) Vn + ibn =-J/(iw£). (1.23) Таким образом, поле в этом случае выражается через один вектор П, который называют (электрическим) вектором Герца. Интегрируя (1.23), найдем следующее решение, удовлетворяющее принципу излучения П = -- / J-dv. (1.24) 4mu!£ J г Когда вместо электрического тока в однородном пространстве распределены заданные магнитные токи с плотностью J, поле определяется следующими формулами: Е = rotn; Н = grad div П-Jk2П где магнитный вектор Герца (1.25) решение которого имеет вид ATTlUJfjL J 1-ifcr dv. (1.26) Bee эти выражения получаются в результате перестановки (1.13) из (1.22)-(1.24). Если уравнения (1.8) содержат электрические и магнитные токи, то на основании принципа суперпозиции, поле будет равно сумме полей, определяемых в (1.22) и (1.25). Потенциалы Боргниса-Дебая. Эти потенциалы вводят при использовании криволинейной ортогональной системы координат ai, Х2, хз с коэффициентами Л яме, удовлетворяющими условиям Боргниса /11 = 1; д fh2\ = 0, (1.27) для решения однородных уравнений Максвелла [1.7]. Координату xi называют главной. В [1.8] метод Боргниса-Дебая обобщен в двух направлениях: для неоднородных уравнений Максвелла, и неоднородных сред, параметры которых зависят от одной (главной) координаты. При этом справедливы следующие теоремы. Теорема 1.4. Если токи удовлетворяют условиям J = Ji] J2 = J3 = 0; Jf = 0; divJ=0, (1.27a) TO E, H - поле электрического типа {Hi = 0) и может быть выражено при помощи скалярного потенциала U: Е2 = д Пди\ дхх \е dxi) 1 дУ 1 dV l7 п. я - /7 - Hi - и, Л2 - --, Лз - ---, Al3 дхэ, 1П2 0X2 где и определяем из уравнения Н2Нз\дх2 \h2 дх2 J д fh2 dU дхз \/i3 dxz +PU-Ji+p] + £ д n du dxi \e dxi P = J hJ? dx3-€ J /123 д,з=;,о dx2; от а?1. Xg И 2 произвольные функции Теорема 1.5. Если токи удовлетворяют условиям Ji=0; divJ = 0; J = Ji, J2 = J3 = О, (1.276) то E, Н - поле магнитного типа (£1 = 0) и может быть выражено при помощи скалярной функции V: Р п. Р - . Р - . til - и, £/2 - - -3 - Т~Ъ-у lha дхз h2 0x2 н, = dxi 1 dxi) Iih2 dxidx2 pih3dxidx3 где V определяют из уравнения h2h3\dx2 \h2 dx2 J d fh2dV\ dx3 \Нз dxsj \ (ldV\ J dxi \p. dxi q = -fi J h3J2dx3-p, J h2J3\j;~j;0 dx2. Если заданная система токов допускает разбиение на две системы, удовлетворяющие условиям (1.27а) и (1.276), то поле представляет собой суперпозицию электрического и магнитного полей. Все сказанное относится к случаям, когда система координат xi, Х2, Хз удовлетворяет условиям (1.27); последним удовлетворяют сферическая и любые цилиндрические системы координат. Необходимо подчеркнуть, что теорема 1.1 (соответственно и теорема 1.2) справедлива тогда, когда условия £ = £{xi), ji = iu(xi) и (1.27а) (соответственно (1.276)) выполняются во всем пространстве. Если они выполнены лишь 1 2 [3] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |
|