|
| |
|
Слаботочка Книги 1.8 Сведение первой КЗЭ к интегродифференциальным уравнениям для токов 17 вспомогательных полей. Если при расчете последних считать все пространство заполненным однородной средой с параметрами теми же, что и у и, то последние выражения совпадут с (1.31) при J = J =0. Полагая при расчете вспомогате.пьных полей е.\ = е = О на S, получаем решение первой КЗЭ. Вспомогательные поля при этом играют роль векторных функций Грина. 1.8. Сведение первой КЗЭ к интегродифференциальным уравнениям для токов Лемма 1.1. Если на замкнутой геометрической поверхности s распределен магнитный ток с плотностью К, то можно распределить на s такой электрический ток с плотностью К, чтобы поле, создаваемое обоими токами, равнялось нулю снаружи (внутри) на S. Доказательство. Для нахождения К считаем поверхность s временно идеально проводящей, а заданный ток К распределенным на ее внутренней (внешней) стороне. Таким образом, приходим к задаче о возбуждении замкнутой идеально проводящей поверхности s током К, находящимся внутри (снаружи) ее. Задача эта имеет единственное решение за исключением случая*, когда в среде внутри s нет потерь и частота совпадает с одной из резонансных (см. ниже). Полагая К равным поверхностному току, индуцированному на внутренней (внешней) стороне S током К, получаем систему из двух поверхностных токов К и К, распределенных на s, поле которых равно нулю снаружи (внутри) s. Лемма 1.2. Лемма 1.1 остается справедливой, если в ней поменять местами магнитный К и электрический К поверхностные токи. * Это исключение выполняется только для внешней задачи, когда рассматривается возбуждение внутренней области током К. Доказательство. Применим принцип перестановочной инвариантности (1.13) и лемму 1.1. Для нахождения К по заданному К достаточно решить задачу о возбуждении поверхности S током к, распределенным на ее внутренней (внешней) стороне; при этом S обладает идеальной магнитной проводимостью, а ток равен магнитному току, индуцированному на внутренней (внешней) стороне s. Таким образом, опять получили систему токов К и К, поле которых равно нулю снаружи (внутри) s. Из теоремы 1.1 (см. § 1.3) следует, что поле первой КЗЭ может быть выражено через заданный магнитный ток К = [ей] на S и индуцированный им на S (которая при этом считается идеально проводящей) электрический ток К. На основании леммы 1.1 к этим токам молено добавить систему токов к/ и Kl, не изменив поле вне (внутри) S. Взяв Kj* равным -К, получим возможность определить поле только при помощи электрических токов. Аналогично, добавляя на основании леммы 1.2 к токам К и К систему токов Кг и Кз и выбирая Кг = -К, находим поле только при помощи магнитных токов. Из предыдуцго следует, что поле может быть выражено также через совокупность электрических и магнитных токов, распределенных на s. Теорема 1.6. При решении первой КЗЭ искомое поле запишем через следующие фиктивные (в общем случае) источники, распределенные на рассматриваемой поверхности s: 1) электрические поверхностные токи К; 2) магнитные поверхностные токи К; 3) те и другие токи. Распределение этих токов может быть найдено из решения следующих интегродифференциальных уравнений S.{K}+e{Ю} = e. (1-37) Здесь Е и Sfj, - линейные операторы, которые, действуя на соответствующие токи, определяют касательные составляющие электрических векторов, возбуждаемых последними на s. Эти операторы, в случае однородных сред, легко определить для любых s при помощи электрического или магнитного векторов Герца (1.24) или (1.26), где вместо J и J стоят К и К, а интегрирование идет по S. Первые формулы в (1.22) и (1.25) позволяют после этого написать выражения для Е и Sf. Так как в третье уравнение (1.37) входят два неизвестных К и К, то их определение может быть произвольным, что позволяет упростить их решение. Так можно добавить к третьму любое уравнение, не противоречащее ему, например К = G{K} +Ъ, после чего токи определяются однозначно. Здесь G - некоторый оператор; b - вектор-функция, касательная к s. Аналогичные результаты могут быть получены для второй КЗЭ. Средд без потерь. Замечания к решению первой КЗЭ. При решении первой КЗЭ при помощи электрических токов К последние нельзя определить однозначно, если ш совпадает с одной из собственных частот резонатора с идеально проводящей поверхностью S, хотя поле, как это следует из теоремы единственности, первой внешней КЗЭ определяется однозначно. Действительно, к решению первого уравнения из (1.37) для К можно долг бавить выражения Y1 пКп, где - п = 1 постоянные числа; Кп - распределение тока на s, соответствующего п-му собственному /-вырожденному колебанию, удовлетворяющего уравнению Е{Кп} = О на S. Более того, при произвольном El (= е) на S внутренняя задача о возбуждении резонатора током К = [еп] не имеет конечного решения, а значит, не имеет решения и уравнение {К} = е, т. е. поле первой внешней КЗЭ не может быть выражено только электрическим током на S. Для того, чтобы существовало конечное решение внутренней задачи о возбуждении резонатора, на собственной частоте, магнитным током К, а значит и внешней КЗЭ при помощи электрического тока К, необходимо и достаточно выполнение условий КН;5=:0; n=l,N. (1.38) Здесь Нп - вектор магнитной напряженности п-го собственного /-вырожденного колебания резонатора s. Необходимость этих условий вбттекает из следующего. Если существует решение Е, Н внутренней задачи о возбуждении резонатора s заданным током К, то применяя к нему и собственному колебанию Е , Н JJ сопряженную лемму (1.18), найдем [е;н]й8 + j КН; ds = 0. Так как Et = О на s, то отсюда сразу следуют условия (1.38). Таким образом, необходимость последних доказана. Физический смысл состоит в том, что они обеспечивают ортогональность возбуждающих токов и собственных колебаний, вследствие чего внешние силы не совершают работу и колебания остаются конечными. Последнее можно рассматривать так же, как доказательство достаточности. Когда = на S (случай наиболее интересный), условия (1.38) принимают вид eH;]ds = 0; n = l,N. (1.39) Если е - электрический вектор падающего на S снаружи поля, то условия (1.39) всегда выполняются. Пусть Ь - магнитный вектор этого поля, тогда на основании сопряженной леммы, примененной к области, находящейся внутри S, и полям е, h и Е , Н, получим а так как Еп, = О на s, то наше утверждение доказано. Из сказанного следует, что задача о дифракции падающей волны на идеально проводящем теле всегда может быть сведена к решению уравнения €{К] = -ej на s, а вторичное поле вырансено через ток К на S. Это соответствует физической реальности, поскольку К, в этом случае, является не фиктивным источником, а реально существующим током. Все сказанное о сведении первой внешней КЗЭ к нахождению электрического тока К на S, может быть распространено и на случай сведения ее к нахождению магнитного тока на s. 1.9. Граничные условия Леонтовича При большом коэффициенте преломления тела, когда у/ 1, и сильном скин-эффекте, а толщина скин-слоя d мала по сравнению с длиной волны, размерами тела и радиусами кривизны его поверхности, справедливы приближенные граничные условия Леонтовича на поверхности тела пЕ] = \ л/£[п[пШ (1.40) Здесь £ ,/.< - параметры тела; п - нормаль, направленная внутрь тела. Если ввести на поверхности тела ортогональную систему координат и, V, орты которой Хц, iy образуют с п правую тройку (iu,iy,n), то условие (1.40) можно свести к двум скалярным соотношениям  (1.40а) Эти условия вытекают из следующих соображений. Любая волна, ис- точники которой находятся на расстоянии ? d от поверхности тела, может быть представлена в виде суммы плоских волн, падающих на тело под раз.пичными углами. Каждая из этих волн, преломляясь, распространяется внутри тела (практически) по нормали п, так как коэффициент преломления тела невелик. Очевидно, для каждой из этих преломленных плоских волн справедливы соотношения (1.40) и (1.40а), поэтому они справедливы и для суммы этих ВО.ПН. Наконец, поскольку касательные составляющие векторов ПО.ПЯ непрерывны при переходе через поверхность раздела двух сред, то эти условия должны выполняться и на наружной поверхности тела. Граничные условия Леонтовича позволяют не рассматривать поле внутри тела, а как и в случае идеально проводящих тел, учитывать влияние тела при помощи граничных условий на его поверхности. 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |