Слаботочка Книги заданной точностью вытекает из следующей теоремы. Любая непрерывная на отрезке - Uq и Uq фуНКЦИЯ g{u) МО- жет быть аппроксимирована функцией /(и) G Wa так, чтобы выполнялось неравенство д{и) - f{u)\ < е; -uq и uq. (3.10) Здесь о > 0; сг > 0; £: > О - любые заданные числа. Отсюда, в частности, следует, что какова бы ни была длина антенны 2сг, при помощи нее может быть получена диаграмма, аппроксимирующая (в интервале вещественных углов) любую заданную с точностью £. Иногда удобнее пользоваться среднеквадрати-ческой аппроксимацией заданной диаграммы д{и) реализуемой /( ), т.е. требовать выполнения неравенства д{и) - /(и)Р du < аппроксима- Возможность такой ции следует из (3.10). Распределение источников вдоль антенны зависит от вида диаграммы на всей оси -оо < w < оо, а не только в пределах вещественных углов - 1 W 1, поэтому при задании нереализуемой диаграммы д{и) ее следует продо.пжить на всю длину оси -ОС < w < со. Часто ее продолжают нулем, так как при этом антенна будет иметь меньшую реактивность. Вследствие сказанного возникает задача о наилучшей среднеквадратической аппроксимации заданной диаграммы у{и), реализуемой f{u) на всей оси и. Можно показать, используя равенство Парсеваля, что наилучшая аппроксимация обеспечивается функцией (и) = J (Ое Здесь ток, распределенный вдоль провода длиной 2сг, реализующий диаграмму /( ), = J д(и)е- du. (3.11) Таким образом, задача синтеза решается преобразованием Фурье (3.11) заданной нереализуемой диаграммы с последующим отбрасыванием токов, находящихся вне отрезка [-сг, сг . Точность аппроксимации определяется при этом выражением J \g{u)-f{u)\Uu = / -а оо\ V-00 о I которое будет мало, если спектр д{и), определяемый (3.11), приходящийся на область 11 > сг, достаточно мал. Сверхнаправленность. При произвольно заданных ДН и размере антенны в результате решения задачи синтеза могут получиться быстропере-мениые распределения токов с очень бо.пьшими значениями амп.питуд. При таких распределениях увеличивается протяженность зоны индукции, резко возрастают потери в антенне, имеет место большая реактивная мощность и, как следствие, резкая критичность ДН относительно малых изменений распределения тока. Подобные системы называют сверхнаправленнылт и их практически не удается реализовать. Укажем класс диаграмм, приводящих к сверхнаправленности. Для этого введем нормированную на единицу, в пределах вещественных углов, диаграмму e d Применим к ней неравенство Берн-штейна, справедливое для / G : sup сг sup l/iv( ) -oo<tt<oo -0O<U <<X) (3.12) Из (3.12) следует, что ДН с большим значением модуля производной может иметь место либо при большой электрической длине антенны 2(Т, либо при больших значениях модуля самой диаграммы. Последняя нормпрована на единицу на отрезке - 1 и 1, поэтому большие значения /iv(w)j будут находиться вне указанного интервала, что вызовет резкий рост потерь и реактивной мощности. Последнее приведет к большим пиковым значениям тока, увеличению зоны индукции и уменьшению диапазонности антенны. Рассмотрим с какими еще распределениями токов приходится иметь дело при сверхнаправленности. Дифференцируя приведенное выше выражение для /лг( ), получаем неравенство
Правая часть его может быть увеличена при заданной длине 2(7 в результате применения быстроперемен-ных токов /(argJ(O) di > 1, так как при этом знаменатель в выражении для \/(и)\ можно сделать сколь угодно малым. Таким образом, для получения ДН, производная которых по углу в велика, в частности ДН с крутыми скатами или узкими лепестками, необходимо либо удлинять антенну, либо применять быстропере-менные распределения тока. В последнем случае приходим к сверхнаправленности. Укажем еще один случай сверхнаправленности, который возможен при улучшении аппроксимации нереализуемой диаграммы д реализуемой /. Действительно, улучшая аппроксимацию, увеличиваем число осцилляции разности Ifl - /I в заданном интервале аппроксимации. Это означает, что в нем возрастает /( ). Последнее, на основании сказанного выше, ведет к сверхнаправленности. К этому же выводу можно прийти, аппроксимируя д{и) при помощи парциальных диаграмм [3.5 . Оценку размеров антенны, при которых еще будут отсутствовать явления сверхнаправленности, можно получить из (3.12). Действительно, поскольку ДН нормирована к единице ( sup /V(w) = 1), то -1<и<1 а > sup /()1 или, переходя к ис- - оо < ti < со ходной сферической системе коорди- нат, имеем > sup \д{е) {Tt/X)cos9 Здесь 9 - угол, для которого \д{0) принимает максимальное значение. Метод парциальных диаграмм. Для расчета нереализуемых диаграмм обычно используется метод парциальных диаграмм. Он заключается в аппроксимации заданной диаграммы д{и) рядом по специальным функциям (парциальным диа- граммам), для каждой из которых может быть найдено точное решение задачи синтеза. При этом искомое распределение источников получается в виде суперпозиции парциальных распределений, соответствующих отдельным парциальным диаграммам. Непосредственно из уравнения (3.5) следует, что если искомую функцию J() представить в виде сходящегося ряда по некоторой системе функций J{0 = CMO, (3.13) f{u) = Y.CMu), (3.14) где fn{u) = l/{2n)jM0exp{iu0d; fn(u) € Wa - известные функции; 2а - размер антенны; Сп - коэффициенты в разложении f{u) в ряд (3.14). Если fn{u) ортогональная система, то при среднеквадратической аппроксимации Сп совпадает с коэффициентами Фурье заданной диаграммы д{и): Сп=1 f{n)fn{u)du = Jj{OJniOd, где fn{u) - функция, сопряженная fn{u). Выбирать системы парциальных диаграмм при решении (3.5) следует прежде всего, исходя из удобства разложения f{u) в ряд (3.14), а системы JniOy исходя из удобства суммирования (3.13). В [3.5] и [3.6] применяли следующие пары функций: fn{u) = se,i(arccos И, гт/2); (3.15) Лг(0 = AnSe ,(arccos(/(T),o-/2); sin а{и - п-п/а) Мп) = JniO а{и - пп/а) 2га 1 7Г \ (3.16) ехр -in- fn{u) - -y=Jn+i/2{cru); V аи (3.17) где se,i - функция Матье; Л = = 0,5iFs (0,7r/2); Hsn{0 - функция Матье-Ганкеля; Jn+i/2 - функция Бесселя; Рп - полиномы Лежандра. Возможны и другие пары функций 3.5]. Все Jn{i) определяются заданными выражениями только на интервале (-сг, а), вне его они равны нулю. Парциальные диаграммы (3.15) ортогональны с весом \/1 - и на интервале (-1,-Ы) и обеспечивают наи-.пучшую среднеквадратическую аппроксимацию заданной диаграммы, а коэффициенты Сп легко вычислить. Система функций (3.16) ортогональна и обеспечивает наилучшую среднеквадратическую аппроксимацию на всей действительной оси. Что касается функций (3.17), то при их помощи заданная диаграмма может быть равномерно аппроксимирована отрезком ряда Неймана по функциям Бесселя. 3.2. Система дискретных излучателей Множитель системы из N дискретных идентичных излучателей, одинаково ориентированных в пространстве, определяется выражением Здесь п - номер излучателя; йп 1 2 3 4 5 6 7 8 [9] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 |
|