|
| |
|
Слаботочка Книги е(г)-произвольная ограниченная функция. К подобному же виду приводятся уравнения, описывающие нелинейный классический, а также линейный и нелинейный параметрические СР. Поэтому изложенная ниже процедура решения используется в последующих параграфах и при исследовании перечисленных устройств. Используя метод медленно меняющихся амплитуд, решение x{t) необходимо отыскивать в форме х(т) F=a (т) cos т+Ь (т) sin т, где а(т), Ь{х)-медленно меняющиеся коэффициенты. В рамках метода для отыскания функций а(т) и Ь{х) исходное соотношение (2.5) заменяют системой й = - 6 [/ (т, а cos х -- 6 sin t, - а sin х -- Ь cos х) sin х + /а()1; 6=;61/(х, а COS Xsin X, ---а sin XCOS х) cos x-j-F(x)] (2.6) где Fa(T)=-е(т) sint; Рь{х)-е{х) cost. Поскольку эта система не менее сложна, чем исходное уравнение, правые части (2.6) стараются тем или иным способом упростить (укоротить). Обычно при укорачивании, для того чтобы освободиться от второстепенных быстроосциллирующих членов, все слагаемые правых частей (2.5) подвергают действию оператора усреднения Но в произвольных функциях Ра,ь{х:) (эти функции произвольны, так как имеют произвольные сомножители) удержать каким-либо способом основные и отбросить второстепенные члены невозможно. Поэтому естественным вариантом упрощения (2.6) является частичное укорачивание, при котором функции Ра.ъ{х:) не усредняются [48]. Корректность такого подхода подтверждается следующими рассуждениями. Пусть вместо ,(2.6) задана стандартная система x = BlX(t, x) + e(i)], где X и E(t)-точки п-мерного евклидова пространства; G - малый параметр. Допускаем, что частичное укорачивание преобразует это выражение к виду =в[ (г/)+(0]. где Xo{y)=M{X(t, у)}. Процедуру частичного укорачивания будем считать корректной, если разность между точным решением xli) и приближением y(t) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно малых значений параметра 9 а сколь угодно большом конечном интервале времени. Считаем, что удовлетворены требования: M{X(t, х)}=Хо{х); X(t, х) является периодической то t функцией с периодом 2я; для некоторой области G можно найти такие постоянные Л>0, В>0, С>0, которые при любых х, Xi, t>to отвечают неравенствам е(0<Л. \X(t,x)\<B; \X{t, x)-X(t, х,)\<С(х-х,). Докажем, что для любого сколь угодно малого числа р>0 и сколь угодно большого числа ОО существует некоторое значение 9, при котором справедливо неравенство \x(t)-!f(t)\<P иа интервале [о> DfQ-\-to] для функции y(t), лежащей в области G вместе со своей сколь угодно малой а-окрестностью и удовлетворяющей условию x(to)=y(to). Возьмем произвольные р и D и положим, что 9 < max {p/Se°, /Se}; S=4C (A+B)nD+4nB. Найдем решение x(t) методом последовательных приближений, используя в качестве нулевого приближения y(t). Для первого приближения имеем X, (t) = x,+b t (/(x)) + e(x)]rfx, где !/(0 = х, + 9 J [X Оценим \x,t{t)-y(t)\ (здесь fe -номер приближения). Используя результаты, полученные в 1[3], имеем: х.(0-г/(01<в5: \xAt)-y{t)\<,bS(\+CD); \Xk(i)-y {t)\<bS [\+СО+СЮ/2\+ ...)<eSe<. -Но если k-oo, Xk{t)-x{t). Следовательно, \x(t)-y(t)\<i <QS exp (CD) <p. Поскольку p может иметь сколь угодно малые значения, корретность процедуры частичного укорачивания считаем доказанной. 3-3108 33 Итак, при частичном укорачивании (2.6) получаем а - - Ь\М [I {х, а cos т -- й sint, - а sin t -- b cos х) sin х] -- (х)}; 6=6{М[/(х, acosx-f-fiisinx, - а sin X -f- b cos x) cos x] -f- f(x)}. Дальнейшее исследование найДенных уравнений при ограниченных произвольных функциях Ра,ь зависит от вида правых частей и в ряде случаев не вызывает трудностей. Заметим, что в целом процедуру частичного укорачивания можно трактовать как отказ от усреднения не только внешних воздействий, но и других слагаемых в (2.6)., Если это уравнение относится к разряду линейных, требование ограниченности внешнего воздействия е(г) отпадает, что позволяет в качестве е(т) использовать, например, дельта-функцию и определять таким путем импульсную характеристику системы. Решение дифференциального уравнения. При решении уравнения (2.4) вначале будем рассматривать такие законы f>(t) (законы суперизации), которые обеспечивают однократный запуск системы, затем полученные результаты распространим на случай многократных запусков, Решение будем искать в форме ;с(0=Р{б(0}. где Р -линейный нестационарный оператор, представленный в виде произведения или суммы элементарных операторов (умножения на заданную функцию времени, интегрирования с переменным пределом и т. п.); б(0 - произвольная в определенной мере функция. Некоторые ограничения будут наложены на е(/) в процессе упрощения оператора Р. Функция 6(0. обеспечивающая однократный запуск, показана на рис. 2.1. Считаем, что она подчиняется неравенству б(0 I <о)о и медленно меняется по сравнению с b{t) coscoo при непрерывном законе изменения затухания или его производной. Если имеют место разрывы производной (например, при прямоугольном законе суперизации), эти условия должны соблюдаться между точками разрыва производной db(t)Jdt, причем эти точки должны отстоять друг от друга по оси на интервалах, значительно больших, чем 2я/<оо. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 |