|
| |
|
Слаботочка Книги BOB в программах коммерческого телевизионного вещания или проведения конкурсов по радио и т. п. Измерения нагрузки, проведенные в ЧНН, показывают, что использование индивидуальных квартирных телефонных аппаратов составляет обычно от 5 до 10% ЧНН. Таким образом, каждый телефонный аппарат создает нагрузку от 0,05 до 0,10 Эрл. Средняя длительность занятия составляет 3-4 мин, т. е. с обычного телефонного аппарата в ЧНН поступают в среднем 1-2 телефонных вызова. Нагрузка, создаваемая обычно служебными телефонными аппаратами, отличается по характеру от нагрузки, создаваемой квартирными телефонными аппаратами. Во-первых, служебные телефоны обычно более интенсивно используются. Во-вторых, ЧНН служебного трафика часто отличается от ЧНН квартирного трафика. На рис. 9.2 показана картина обычного почасового изменения для обоих источников нагрузки. В ряде случаев расчет числа соединительных линий телефонной сети ведется так, чтобы использовать преимущества несовпадения характера поступления вызовов от различных станций. Соединительные линии междугородной связи из районов квартирных абонентов часто оказываются занятыми в вечерние часы, а соединительные линии из районов деловых абонентов в наибольшей степени заняты в утренние и дневные часы. Проектирование зависит не только от значения общей нагрузки, но и от характера распределения нагрузки во времени в пределах сети. 10000  24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Время суток Рис. 9.2. Суточные колебания телефонного обмена: D - станция обслуживает деловых абонентов; - станция обслуживает квартирных абонентов Определенное внимание следует уделить и вопросу нахождения общей загрузки системы, исходя из загрузки абонентских линий индивидуального использования или соединительных линий. Например, поскольку в каждом соединении участвуют два телефонных аппарата, то общая нагрузка на коммутационную систему равна точно половине всей нагрузки на линии, соединенные с коммутационной системой. Кроме того, может оказаться важным включение в среднюю длительность занятия некоторого общего оборудования и некоторых значений длительности установления соединения и его разъединения. Длительность установления соединения, равная 10с, занимает не столь существенную часть в четырехминутном разговоре, но может оказаться действительно определяющей в длительности занятия оборудования, используемого для коротких сообщений. Кроме того, длительность установления соединения, учитываемая при расчете длительности занятия общего оборудования, становится более ощутимой при наличии перегрузок, создаваемых телефонным обменом. Еще больший процент общей загрузки создается повторными вызовами, так как они нарастают с более высокой скоростью, чем отбои. При изучении нагрузки на сети связи должно быть сделано четкое разграничение поступающей и обслуженной нагрузок. Поступающая нагрузка - это общая нагрузка, которая могла бы быть обслужена сетью, если бы она была способна обслуживать все требования по мере того, как они возникают. Поскольку обычно экономические факторы не позволяют проектировать сеть так, чтобы обеспечивать немедленное обслуживание максимальной поступающей нагрузки, то обычно небольшой процент поступающей нагрузки блокируется или задерживается. Если заблокированные вызовы остаются необслуженными сетью, то такой режим работы называют режимом с явными потерями. По существу, предполагается, что заблокированные вызовы исчезают и никогда не возвращаются. Это предположение в наибольшей степени подходит для пучков соединительных линий с обходными путями. В этом случае заблокированный вызов обычно обслуживается другим пучком линий и фактически не возвращается. Нагрузка, обслуженная системой с потерями, всегда меньше поступающей нагрузки. С другой стороны, система с ожиданием не отбрасывает заблокированные вызовы, а сохраняет их до тех пор, пока не освободятся необходимые устройства. Предполагая, что долговременное среднее значение поступающей нагрузки меньше пропускной способности сети, можно сказать, что система с ожиданием обслуживает всю поступающую нагрузку. Однако если число требований, которые могут ожидать начала обслуживания, ограничено, то система с ожиданием приобретает также свойства системы с потерями. Например, если очередь, в которой ожидают обслуживания заблокированные вызовы, имеет конечную длину, то требования, поступающие в момент, когда очередь уже заполнена, теряются. 15 Зак 1.1.38 9.1.1. Распределения моментов поступления вызовов Самое главное предположение, принятое в классической теории телетрафика, состоит в том, что поступление вызовов происходит независимо друг от друга. То есть поступление вызова от одного источника не связано с поступлением вызова от любого другого источника. Даже если в некоторых, случаях это предположение оказывается несправедливым, для большинства приложений оно оказывается полезным. В тех случаях, когда проявляется тенденция к корреляции моментов поступления вызовов от различных источников, все еще можно получить полезные результаты, модифицируя методику анализа случайного характера поступления вызовов. Таким образом, предположение о случайном характере поступления вызовов позволяет построить математическое описание, которое может быть скорректировано так, чтобы получить приближенные решения задач, которые в противном случае оказываются математически неразрешимыми. Отрицательное экспоненциальное распределение промежутков между последовательными вызовами. Обозначим среднюю интенсивность поступления вызовов от большой группы независимых источ-.ников (абонентских линий) через X,. Примем следующие предположения: 1) в любой достаточно малый интервал времени может поступить только один вызов; 2) вероятность поступления вызова в любой достаточно малый интервал времени прямо пропорциональна длине этого интервала (вероятность поступления вызова равна KAt, где At - длина интервала); 3) вероятность поступления вызова в любой определенный интервал времени не зависит от событий, происшедших в других интервалах. Достаточно просто показать [1], что распределение промежутков между последовательными вызовами имеет вид Ро(ЯО=еТ. (9.2) Уравнение (9.2) определяет вероятность того, что в любой случайно выбранный интервал t не поступит ни одного вызова. Она совпадает с вероятностью того, что от момента поступления одного вызова до момента поступления следующего проходит / секунд. Пример 9.1. Предполагая, что каждая из 10 ООО абонентских линий посылает один вызов в час, определим, как часто поступают два вызова с интервалом между ними меньшим, чем 0,01 с. Решение. Средняя интенсивность поступления вызовов Х= 10 000X1/3600=2,78 вызова в секунду. На основании уравнения (9.2) определяем вероятность того, что в течение интервала длиной 0,01 с не поступит ни один вызов: Ро (0,0278)=е *=0,973. Таким образом, в течение 0,01 с от момента поступления предыдущего вызова поступает 2,7% вызовов. Поскольку интенсивность поступления вызовов равна 2,78 вызова в секунду, то интенсивность появления промежутков между последовательными вызовами, длина которых меньше 0,01 секунды, равна 2,78X 0,027= 0,075 раз в секунду. . Первые два предположения, сделанные при выводе отрицательного экспоненциального распределения промежутков между последовательными вызовами, могут быть интуитивно приняты для многих приложений. Однако третье предположение приводит к некоторым проблемам в отношении источников, которые не всегда могут быть разрешены. Прежде всего некоторые события, такие как перерывы ifnporpaMMax коммерческого телевидения, могут вынудить источники осуществить посылку своих вызовов примерно в одно и то же время. В этом случае отрицательное экспоненциальное распределение может еще оставаться справедливым, но уже при больших значениях интенсивности поступления вызовов во время этих передач. Более тонкий подтекст предположения о независимости поступления вызовов состоит в необходимости учета числа источников, а не характера посылки ими вызовов. Если вероятность поступления вызова в любой достаточно малый промежуток времени не зависит от поступления других вызовов, то это означает, что число имеющихся источников, которые могут генерировать требования, является постоянным. Если какое-то число вызовов поступает непосредственно перед любым рассматриваемым интервалом, то некоторые из источников оказываются занятыми и не могут генерировать требования. Влияние занятых источников проявляется в том, что снижается средняя интенсивность поступления вызовов. Таким образом, длина промежутков времени между последовательными вызовами всегда несколько больше, чем та, которую предсказывает уравнение (9.2). В единственном случае интенсивность поступления вызовов является действительно независимой от активности источника - это тогда, когда существует бесконечно большое число источников. Если число источников велико и их средняя активность сравнительно мала, то занятые источники не снижают заметно интенсивность поступления вызовов. Рассмотрим, например, оконечную телефонную станцию, которая обслуживает 10 ООО абонентов, каждый из которых создает нагрузку в 0,1 Эрл. Обычно имеется 1000 активных линий и 9000 абонентов, располагающих возможностью генерировать новые вызовы. Если число активных абонентов возрастает, что мало вероятно, на 50% и становится равным 1500, то число свободных абонентов уменьшается до 8500, т. е. изменение составит лишь 5,6%. Таким образом, интенсивность поступления вызовов остается сравнительно постоянной в достаточно широком диапазоне активности источников. Всякий раз, когда интенсивность поступления вызовов остается достаточно постоянной во всец области обычной активности источников, предположение о бесконечно большом числе источников является справедливым. ,15* Фактически некоторые последствия конечного числа источни-. ков были уже рассмотрены в гл. 5 при определении вероятностей блокировки в коммутационной схеме. Было указано, что метод графов Ли завышает вероятность блокировки, так как, если известно, что некоторое число промежуточных соединительных линий из группы занято, то остальные линии этой же группы окажутся занятыми с меньшей вероятностью. Метод Якобеуса позволяет получить более строгое и точное решение при определении вероятности блокировки. Особенно в тех случаях, когда применяется пространственное расширение. Кроме того, возможны точные методы анализа длительностей промежутков между двумя последовательными вызовами при конечном числе источников. Они включаются в методы анализа блокировки, которые рассматриваются далее. Пуассоновское распределение моментов поступления вызовов. Уравнение (9.2) дает средство нахождения распределения промежутков между двумя последовательными вызовами. Само по себе оно обычно не позволяет получить более желательную информацию о том, сколько вызовов предположительно поступит в некоторый произвольно выбранный момент времени. Однако, используя те же предположения, о которых мы уже говорили, можно определить вероятность того, что на интервале t поступят / вызовов [1]: P(X0 = ((W)7Л)e . (9.3) Уравнение (9.3) - это хорошо известный закон Пуассона. Заметим, что если /=0, то вероятность того, что на интервале t не поступит Ни одного вызова, равна PqU), как получено в уравнении (9.2). Как и ранее, в уравнении (9.3) предполагается, что вызовы независимы и поступают с заданной средней интенсивностью К безотносительно к числу вызовов, поступающих непосредственно перед рассматриваемым интервалом. Таким образом, пуассоновское распределение вероятностей должно использоваться только для вызовов, поступающих от большого числа независимых источников. Уравнение (9.3) определяет вероятность поступления точно / вызовов за t секунд. Обычно более интересно определить вероятность того, что за t секунд поступят / или более вызовов: P>,(W) = 2 Piat) = 1-2 P,(W) = 1 - Р>,(?.0, (9.4) i = о где Piikt) определено в уравнении (9.3). Пример 9.2. Для узла коммутации сообщений, на который поступает обычно 4 вызова в минуту, определим вероятность того, что в любом произвольно выбранном интервале времени длительностью 30 с поступят 8 или более вызовов. Решение. Среднее число вызовов, которые поступают в интервале 30с, равно W=4 (30/60) = 2. Вероятность того, что поступит 8 или более вызовов (при среднем их числе, равном 2) P>s(2) = 2 Р,(2) =1-2 Р,(2) = 1 - е-1 +1 +1 + 1)=0,0011. 1=8 ( = О Пример 9.3. Определим, какова вероятность того, что в блоке данных длиной 1000 битов возникнут точно четыре ошибки при его передаче по линии с вероятностью ошибок по битам, равной 10 ? Решение. Предполагая, что ошибки независимы (сомнительное предположение для многих линий передачи), можно получить вероятность возникновения точно четырех ошибок непосредственно из распределения Пуассона. Среднее число ошибок (вызовов) Xt= 10 X 10 ~* = 0,01. Таким образом. Вероятность (четырех ошибок) = Р, (0,01) = (0,01) /4 ! е = 4,125 X 10 . Другое решение может быть получено из биномиального закона распределения вероятностей: Вероятность (четырех ошибок) = Ctooop d-p ) = 4,101 X Ю , где р = 10~ Как можно видеть, два решения примера 9. 3 почти идентичны. Близость двух ответов отражает тот факт, что пуассоновское распределение вероятностей получается часто как предельный случай биномиального. Поскольку пуассоновское распределение более удобно в вычислительном отношении, его часто используют как аппроксимацию биномиального распределения. 9.1.2. Распределения длительностей занятия Вторым сомножителем интенсивности нагрузки, как определяется в уравнении (9.1), является средняя длительность занятия В некоторых случаях достаточно знать среднее значение длительности занятия, чтобы определить вероятность блокировки в системе с потерями или вероятность ожидания в системе с ожиданием. В других случаях, чтобы получить желаемые результаты, необходимо знать распределение вероятностей занятия. В этом разделе описываются два наиболее часто предполагаемых распределения длительности занятия: постоянная длительность занятия и экспоненциальная длительность занятия. Постоянная длительность занятия. Хотя постоянная длительность занятия не может быть принята для обычных телефонных разговоров, это разумное предположение для таких видов активности, как требования на обработку, возникающие при обслуживании вызова, межстанционная сигнализация с передачей адреса, помощь оператора телефонной станции при установлении соединения и воспроизведение записанных сообщений. Кроме того, допущение о постоянной длительности занятия очевидно справедливо для времени передачи в сетях коммутации пакетов фиксированной длины. Если сообщения с постоянной длительностью занятия действительно имеются, то для нахождения распределения вероятностей активных каналов можно непосредственно использовать уравнение (9.3). Предположим, что в рассматриваемый момент времени все требования обслужены. Тогда вероятность того, что в любой заданный момент времени будет занято / каналов, равна просто вероятности того, что в интервале времени длиной непосредственно предшествующем рассматриваемому моменту, поступило / вызовов. Так как среднее число активных каналов за весь период времени равно интенсивности нагрузки А =: Kt, то вероятность того, что / каналов будут заняты, зависит только от интенсивности нагрузки: Pj Шщ) = Pj Ш = (AJ/j!) е-Л (9.5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [75] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 |