|
| |
|
Слаботочка Книги где Л, - интенсивность поступления вызовов; t - постоянная длительность занятия; А - интенсивность нагрузки в эрлангах. Экспоненциальное распределение длительностей занятия. Наиболее часто предполагаемым распределением длительностей занятия для обычных телефонных разговоров является экспоненциальное: р оо = е-/-, (9.6) где - средняя длительность занятия. Уравнение (9.6) определяет вероятность того, что длительность занятия превысит величину t. Это соотношение легко вывести, исходя из нескольких простых предположений, касающихся природы процесса окончания соединений. Однако главное его достоинство состоит в том, что наблюдения за реальными распределениями телефонных разговоров обнаруживают их поразительно близкое соответствие экспоненциальному распределению. Экспоненциальное распределение обладает любопытным свойством, заключающимся в том, что вероятность окончания соединения не зависит от того, сколько оно продолжалось. То есть независимо от длительности соединения вероятность его продолжения в течение дополнительных t секунд определяется уравнением (9.6). В этом смысле экспоненциально распределенная длительность занятия представляет собой наиболее четко выраженный случайный процесс. Даже знание того, как долго соединение уже просуществовало, не дает никакой информации о том, когда соединение закончится. Комбинация пуассоновского процесса поступления вызовов с экспоненциальным распределением длительностей занятия для получения распределения вероятностей наличия активных каналов является более сложной, чем это было для постоянной длительности занятия, поскольку соединения могут продолжаться неопределенно долго. Оказывается, однако, что окончательный результат зависит только от средней длительности занятия. Таким образом, уравнение (9.5) справедливо для экспоненциально распределенной длительности занятия. Поэтому повторим еще раз уравнение (9.5), чтобы подчеркнуть его значение: вероятность того, что в любой определенный момент времени будут заняты / каналов в предположении о пуассоновском характере процесса поступления вызовов и о том, что все требования обслуживаются немедленно, равна Р,(Л)= (Л7/7)е-Л (9.7) где А - интенсивность нагрузки в эрлангах. Этот результат справедлив для любого распределения длительности занятия. Пример 9.4. Предположим, что пучок соединительных линий содержит достаточно каналов, чтобы обслужить нагрузку, поступающую на него в соответствии с пуассонов-ским процессом со средней интенсивностью поступления вызовов, равной одному вызову в минуту. Предположим, что средняя длительность занятия равна 2 мин. Определим, какой процент общей нагрузки обслуживается первыми пятью каналами, и какая нагрузка обслуживается всеи остальными каналами. (Предположим, что нагрузка распределяется, начиная всегда с каналов с наименьшими по порядку номерами.) Решение. Интенсивность поступающей нагрузки системы равна Л = 1 X 2 = 2 Эрл. Интенсивность нагрузки, обслуженной i активными каналами, равна точно i Эрл. Следовательно, нагрузка, обслуженная первыми пятью каналами, может быть определена следующим образом: А=1. Р,(2)+ 2Р2 (2) + ЗРз (2) + 4Р, (2) + 5Р5 (2) = 5- 2 2 + 1-- + 1:1 + ±- 2! 3! 4! = 1,89 Эрл. Все остальные каналы обслуживают 2 - 1,89 = 0,11 Эрл. Результат примера 9. 4 демонстрирует принцип уменьшения возвратов по мере того, как пропускная способность системы увеличивается, чтобы обслуживать все больший и больший процент поступающей нагрузки. Первые пять каналов в примере 9.4 обслуживают 94,5% нагрузки, в то время как все остальные каналы обслуживают только 5,5 % нагрузки. Если имеется 100 источников, то, чтобы обслужить 5,5 %, нужно 95 дополнительных каналов. 9.2. СИСТЕМЫ С ПОТЕРЯМИ Пример 9.4 иллюстрирует расчет вероятности блокировки, которая возникает, когда число обслуживающих приборов меньше, чем максимально возможная нагрузка (число источников). Пример показывает, что 94,5 % нагрузки обслуживается только пятью каналами. Это означает, что вероятность блокировки при условии, что для обслуживания нагрузки в наличии есть только пять каналов, равна 5,5 %. Действи- тельно, в примере 9.4 все исходные данные тщательно оговорены с тем, чтобы показать, что вся поступающая нагрузка обслуживается, но интерес представляет только нагрузка, обслуженная первыми пятью каналами. Есть тонкое, но важное различие между вероятностью того, что шесть или более каналов заняты [как можно получить из уравнения 9.7) ] и вероятностью блокировки, которая возникает, когда существует только пять каналов. Основная причина этого различия проиллюстрирована на рис. 9.3, на котором приведена такая же картина трафика, создаваемого 20 источниками, как ранее показано на рис. 9.1. Однако на рис. 9.3 предполагается, что для обслуживания нагрузки в наличии есть только 13 каналов. Таким образом, три вызова в моменты t = 2,2; 2,3; 2,4 мин блокируются и предполагается, что они покидают систему. Общее количество потерянной нагрузки показано заштрихованной областью, которая является разностью всей нагрузки, обслуживаемой, как только она поступает, и нагрузки, обслуживаемой системой с 13-ю каналами, которая работает в режиме с явными потерями. Наиболее важной особенностью рис. 9.3, которую следует отметить, является то, что вызов, поступающий в момент t = 2,8 мин, не блокируется, даже если исзодный график показывает, что он поступает в момент, когда в СССР и странах Западной Европы в литературе по теории телетрафика вероятность блокировки, или вероятность потерь, оценивается десятичной дробью, а потери за счет блокировки и общие потери даются в процентах и промилле. Поэтому в данном примере вероятность потерь, или вероятность блокировки, составит 0,055, а потери за счет блокировки - 5,5 %.- Прим. перев. I 20 % 15 dc re I 15 i 10 Число потерянных вызовов Т)оте£Янный вызов у--Г -1 г-1 1 2 3 4 5 6 7 Время, мин Рис. 9.3. Временная диаграмма активности абонентов в случае работы системы с явными потерями (13 каналов! заняты все 13 каналов. Причина этого заключается в том, что ранее заблокированные вызовы покинули систему и поэтому уменьшили перегрузку для последующих вызовов. Следовательно, процент времени, когда исходная кривая нагрузки проходит на уровне или выше 13, не есть то же самое, что и вероятность блокировки, когда имеются в наличии 13 каналов. 9.2.1. Система с явными потерями Первым специалистом, который в 1917 г. наиболее полно и точно учел эффект отказа в обслуживании вызовов при вычислении вероятностей блокировки, был А. К. Эрланг. В этом разделе рассмотрим один из наиболее часто используемых результатов, полученных Эрлангом: его формулу для расчета вероятности блокировки в системе, работающей в режиме с явными потерями, на которую поступает пуассонов-ский поток вызовов. Вспомним, что предположение о пуассоновском потоке означает, что число источников бесконечно велико. Этот результат Эрланга называют по-разному: либо формулой Эрланга 1-го рода С Л), либо В-формулой Эрланга, либо формулой потерь по Эрлангу. Основной аспект выводов Эрланга и ключевой вклад его в современную теорию стохастических процессов состоит в идее статистического равновесия. По существу, статистическое равновесие означает, что вероятность пребывания системы в определенном состоянии (число занятых каналов в пучке) не зависит от момента времени, в который рассматривается система. Для того чтобы система находилась в стати- стическом равновесии, должно пройти длительное время (несколько средних длительностей занятия) от того момента, когда система находится в известном состоянии, до тех пор, пока она вновь будет рассматриваться. Например, когда пучок каналов только начинает принимать нагрузку, у него нет занятых каналов. Однако с течением времени система достигнет равновесия. В этот момент наиболее вероятным состоянием системы будет такое, когда в системе занято А=М каналов. В случае равновесия с одинаковой вероятностью в систему может поступить вызов или произойти отбой. Если окажется, что число активных каналов превышает среднее значение А, то отбои становятся более вероятными событиями, чем вызовы. Аналогично, если оказывается, что число активных каналов меньше А, то с большей вероятностью поступит вызов, чем произойдет отбой. Таким образом, если случайно система окажется выведенной из состояния равновесия, то она будет стремиться вернуться в него. Хотя вывод элегантной формулы Эрланга не особенно сложен, он здесь не приводится, поскольку нас интересует, главным образом, прикладной характер результатов. Заинтересованного читателя просим обратиться к [2, 3], где приводится вывод этого результата: B = Ejj(A) = A/{N!Z), (9.8) / 1=0 г/ где - число обслуживающих приборов (каналов); А - интенсивность поступающей нагрузки в эрлангах. Формула (9.8) определяет вероятность блокировки в системе со случайным поступлением вызовов от бесконечного числа источников я распределением длительностей занятия общего вида. Вероятность блокировки, определяемая уравнением (9.8), приведена на рис. 9.4 как функция интенсивности поступающей нагрузки для различного числа каналов. Зачастую более полезное представление результатов Эрланга приведено на рис. 9.5, где показано использование исходящего канала для различных вероятностей блокировки и различного числа обслуживающих приборов. Использование выхода представляет собой нагрузку, обслуженную каждым каналом: 9=(1-В)Л/Л, (9.9) где А - интенсивность поступающей нагрузки; В - вероятность блокировки; (1-В) А - обслуженная нагрузка. Вероятности блокировки приведены также в табличной форме в приложении Г. Пример 9.5. Линия передачи Т1 должна использоваться в качестве пучка соединительных линий высокого использования между двумя оконечными станциями. Какую Иагрузку может обслужить этот пучок, если вероятность блокировки должна быть равна 0,1 %? Какова интенсивность поступающей нагрузки? Обычно расчет ведут так, чтобы вероятность блокировки между коммутационными станциями была меньше, 1ем 0,01. Однако из-за наличия обходных путей прямые пучки могут-блокироваться более чем на 10 %. Решение. Из рис. 9.5 следует, что использование исходящего канала при В=0,1 н .3V=24 равно 0.8. Таким образом, интенсивность обслуженной нагрузки равна 0,8- 24= {=19,2 Эрл. Так как вероятность блокировки равна 0.1, то максимальная интенсивность Поступающей нагрузки А = 19,2/ (1 - 0,1) = 21,3 Эрл.  0,0001 0,4 0,5 0,6 Поступающая нагрузка на канал, Эрл Рис. 9.4. Вероятность блокировки в системе с явными потерями  1000 Число каналов Л Рис. 9.5. Зависимость использования искодяшего канала от числа каналов в системе с явными потерями 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [76] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 |