|
| |
|
Слаботочка Книги tjtm длительностей обслуживания. На рис. 9.17 представлено соотношение (9.25) в виде пропускной способности различного числа обслуживающих устройств как функции допустимого времени ожидания. Для заданной нормы времени ожидания 1Ц , на рис. 9.17,а интенсивность нагрузки максимальна, если норма ожидания будет превышена только для 10% поступающих вызовов. Аналогично на рис. 9.17,6 интенсивность нагрузки максимальна, если норма ожидания оказывается превышенной только для 1% поступающих вызовов. Заметим, что при рОО = 0,01 системы обслуживания не достигают своей максимальной пропускной способности, если только допустимое время ожидания не оказывается в несколько раз больше, чем / ,.  Рис. 9.17. Пропускная способность системы с ожиданием с lT щими приборами в случае экспоненциального распределения длительности оос.пужи- вания: а - вероятность ожидания свыше времени /, p{>t) = 10%: б - вероятность ожидания свыше времени (, р(>0 - 1 /о Интегрируя уравнение (9.25) по времени, можно определить среднее время ожидания для всех поступающих вызовов: =pi>m .l(N-A). (9.26) Заметим, что t - это среднее время ожидания для всех поступающих вызовов. Среднее время ожидания только тех вызовов, которые действительно ожидают начала обслуживания, обычно обозначается как (9.27) Пример 9.14. Сеть коммутации сообщений должна быть спроектирована таким образом, чтобы обеспечить 95%-ное использование своих линий передачи. Предполагая, что длины сообщений подчиняются экспоненциальному распределению, а интенсивность их поступления составляет 10 сообщений в минуту, определим среднее время ожидания и вероятность ожидания свыше 5 мин. Решение. Предположим, что в сети коммутации сообщений между каждой парой узлов имеется отдельный канал связи. Таким образом, имеется один обслуживающий прибор и отдельная очередь к каждой линии передачи. Так как по условию вероятность р должна быть равна 0,96, а X составляет 10 вызовов в минуту, то среднюю длительность обслуживания можно определить как = = 0,95/10 = 0,095 мин. Среднее время ожидания (не включая время обслуживания) легко определить по формуле 7= pi>0)t /(N-A) = 0,95 0,095/(1-0,95) = 1,805 мин. Используя уравнение (9.25), можно определить вероятность ожидания свыше 5 мин р(>5) = 0,95 е-<-- >/- = 0,068. Таким образом, 6,8% сообщений задерживаются в очереди более, чем на 5 мин. Пример 9.15. Определим число приемников набора номера, которые необходимо иметь, чтобы обслужить нагрузку 1000 телефонных аппаратов, средняя интенсивность поступления вызовов от которых соответствует двум вызовам в час. Предположим, что время набора номера подчиняется экспоненциальному распределению со средней длительностью обслуживания 6 с. Норма качества обслуживания такова, что для 99% попыток вызовов сигнал ответа станции должен быть передан в течение 1 с с момента поступления сигнала занятия. Сравним ответ, получаемый при расчете системы с ожиданием, с ответом, получаемым при расчете системы с потерями, если В = 1%. Если вероятность блокировки меньше, чем 1%, то меньше, чем 1% вызовов ожидают обслуживания. Решение. Интенсивность поступления вызовов X и интенсивность поступающей нагрузки А легко определяются соответственно как 0,555 вызовов в секунду и 3,33 Эрл. Поскольку число обслуживающих приборов N непосредственно из уравнений определить нельзя, то для получения числа обслуживающих приборов, равного 8, при t/t = 1/6 используется рис. 9.17,6. Рассмотрение табл. 8.1 показывает, что 99% попыток вызовов могут быть обслужены немедленно, если имеется девять приемников набора номера. Таким образом, в этом случае способность обслуживать с ожиданием позволяет сэкономить только один обслуживающий прибор. Пример 9.15 показывает, что расчет вероятности блокировки в системе с потерями приводит примерно к таким же результатам, что и расчет системы с ожиданием, когда максимально допустимое ожидание составляет малый процент средней длительности обслуживания. Оба результата почти идентичны, поскольку если приемник набора номера оказывается доступным не сразу, то существует лишь малая вероятность того, что он станет доступным в течение короткого периода времени. (Если средняя длительность обслуживания равна 6 с, то среднее время, в течение которого освободится один из восьми приемников набора номера, равно 6/8 = 0,75. Следовательно, работа в режиме ожидания в этом случае позволяет сэкономить один приемник набора номера.) Поскольку приемник набора должен быть доступен в течение относительно короткого периода времени после того, как поступит требование, то число приемников набора номера в группе часто определяется методом расчета систем с потерями. То, что доступ к приемникам набора номера фактически организуется так же, как в системе с ожиданием, означает, что качество обслуживания всегда выше расчетного. 9.4.2. Постоянная длительность обслуживания В этом разделе рассматриваются системы с ожиданием со случайным потоком вызовов, постоянной длительностью обслуживания и одним обслуживающим прибором (M/D/1). Вновь предполагается дисциплина обслуживания вызовов в порядке поступления и бесконечно большое число источников. Случай нескольких обслуживающих приборов рассмотрен в [3], но он слишком сложен, чтобы приводить его здесь. Графики расчета систем с несколькими обслуживающими приборами при постоянной длительности обслуживания приведены в [15]. Среднее время ожидания при одном обслуживающем приборе и постоянной длительности обслуживания t=QtJ2(\-Q), (9.28) где Q = Л - использование обслуживающего прибора. Заметим, что уравнение (9.28) дает среднее время ожидания, которое в точности равно половине среднего времени ожидания для системы с одним обслуживающим прибором и экспоненциально распределенной длительностью обслуживания. Экспоненциальное распределение длительностей обслуживания приводит к большему среднему времени ожидания, так как в возникновении ожидания участвуют два случайных процесса. В обоих типах систем ожидание возникает тогда, когда большая пачка поступаюищх вызовов превышает пропускную способность обслуживающих приборов. Однако при экспоненциальном распределении длительностей обслуживания продолжительные ожидания возникают также вследствие чрезмерно больших значений длительности обслуживания только нескольких поступивших вызовов. (Вспомним, что эта особенность обычных систем коммутации сообщений явилась одной из причин разделения сообщений на пакеты в сетях коммутации пакетов.) Если характер активности источников системы с постоянной длительностью обслуживания (M/D/1) сравнить с характером активности источников системы с экспоненциально распределенной длительностью обслуживания (М/М/1), то оказьшается, что система (M/D/1) активна в течение более коротких, но более частых периодов времени. То есть система (М/М/1) имеет большую дисперсию длительности периодов ее занятости. Средняя активность обеих систем равна, конечно, использованию обслуживающего прибора Q. Следовательно, вероятность ожидания в системе с одним обслуживаюищм прибором с постоянной длительностью обслуживания совпадает с вероятностью ожидания в системе с экспоненциально распределенной длительностью обслуживания рОО) = Вероятность потерь при больших значениях оказывается относительно близкой к вероятности при экспоненциально распределенной длительности обслуживания. Таким образом, уравнение (9.25) можно использовать как близкую аппроксимацию при рОО) для систем с несколькими обслуживающими приборами и произвольными распределениями длительностей обслуживания. Для системы с одним обслуживающим прибором при постоянной длительности занятия вероятность ожидания свыше произвольной величины t: к (i-t/tjc- <- > p(>0=p(>(fc-fr) ,) = i-(i-e)2 -, ,=0 л где к - наибольшая целая часть отношения t/t г - остаток t/tm\ Q - использование обслуживающего прибора. Сравнение распределений времени ожидания для систем с одним обслуживающим прибором с экспоненциально распределенной и постоянной длительностями обслуживания приводится на рис. 9.18. Поскольку все другие распределения длительностей обслуживания дают вероятности ожидания, лежащие между этими предельными значениями, то по рис. 9.18 можно прямо определить всю область возможных значений времени ожидания. Пример 9.16. Узел коммутации пакетов работает с пакетами фиксированной длины, равной 300 битам, поступающими по линиям с пропускной способностью 9600 бит/с. Какова средняя задержка на узле, если использование линии связи должно быть равно 90%? Какой процент пакетов задерживается больше, чем на 0,35 с? Какова средняя задержка, если поступающая нагрузка возрастает на 10%? Решение. Равенство длин сообщений 300 битам при скорости передачи данных 9600 бит/с означает, что длительность обслуживания пакета фиксированной длины равна 300/9600 = 0,031 с. Из уравнения (9.28) среднее время задержки t = 0,9+ 0,031/2(1 - 0,9) = 0,140 с. Среднее время суммарной задержки пакетов на узле, включая обработку, получают сложением среднего времени ожидания с длительностью обслуживания: Среднее время задержки = 0,1404-0,031 = 0,171 с. Поскольку длительность обслуживания равна 0,031 с, задержка на 0,35 с возникает тогда, когда время ожидания равно 0,35-0,031 = 0,319 с. Это соответствует 0,319/0,031 = 10 длительностям обслуживания. Из рис. 9.18 определяем, что вероятность задержки для случая, когда = 10, приблизительно равна 0,12. Таким образом, 12% пакетов будут задержаны болыие, чем на 0,35 с. Увеличение интенсивности нагрузки на 10% означает, что новая интенсивность поступающей нагрузки будет равна 0,99 Эрл. Из уравнения (9.30) определяем среднее время ожидания t= 0,9X0,031/2(1-0,99) = 1,40 с. Таким образом, если поступающая нагрузка увеличивается лишь на 10%, то средняя задержка пакета на узле увеличится больше, чем в 8 раз и достигнет 1,43 с. Пример 9.16 демонстрирует точно такую же особенность систем с ожиданием с высоким использованием, которая ранее была выявлена для систем с потерями: их работа весьма чувствительна к увеличению интенсивности нагрузки. Таким образом, как было показано в гл. 7, управление потоками является критическим аспектом работы при коммутащ1и пакетов, особенно когда существуют нормы доставки в реальном масштабе времени.  5 6 7 Время ожидания t/t Рис 9.18. Вероятность ожидания в системах с одним обслуживающим прибором (экспоненциально распределенная и постоянная длительности оослуживания) 9.4.3. Ограниченные очереди Все рассмотренные до сих пор методы расчета систем с ожиданием опирались на предположение о том, что любое сколь угодно большое число ожидающих требований можно поставить в очередь. Во многих приложениях это предположение оказывается несправедливым. Примером систем, которые имеют существенно ограниченные по длине очереди, являются узлы коммутации с промежуточным накоплением, АРВ и различные типы устройств ввода - вывода ЭВМ. Эти системы обрабатывают поступающие вызовы тремя различными способами в зависимости от числа требований, пребывающих в системе в момент поступления вызова: 1) немедленное обслуживание, если из N обслуживающих приборов свободен хотя бы один; 2) обслуживание с задержкой, если все обслуживающие приборы заняты и меньше, чем L, требований ожидают обслуживания; 3) блокировка или отказ в обслуживании, если очередь длины L заполнена. В системах с ограниченной очередью заблокированные вызовы - это такие вызовы, которые в противном случае в истинно чистой системе с ожиданием столкнулись бы с длительной задержкой. Таким образом, вероятность блокировки комбинированной системы с ожиданием и отказами может быть определена на основе вероятности того, что вызовы, поступающие в чистую систему с ожиданием, ждут обслуживания в течение времени свыше некоторой определенной величины. Однако при таком подходе есть две основные неточности. Первая - влияние исчезнувших заблокированных, или потерянных вызовов сводится к уменьшению перегрузки в течение какого-то периода времени и тем самым к уменьшению вероятностей ожидания для последующих вызовов. Вторая - времена ожидания не обязательно указывают на то, сколько вызовов пребывает в системе. Обычно длина очереди и вероятность блокировки определяются через число ожидающих требований, а не через объем работы или общую длительность обслуживания, соответствуюцщх этим требованиям. При постоянной длительности обслуживания не возникает неопределенность в соотношении между длиной очереди и подразумеваемой ею задержкой. Однако при экспоненциально распределенной длительности обслуживания данная длина очереди допускает широкий спектр значений времени ожидания. Узел коммутации сообщений является примером системы, в которой длину очереди наиболее уместно определять соответствующей длительностью обслуживания, а не числом ожидающих обслуживания требований. То есть максимальная длина очереди может быть определена объемом памяти для промежуточного накопления, доступного для сообщений переменной длины, а не некоторым фиксированным числом сообщений. Всякий раз, когда узел коммутации сообщений или коммутации пакетов отказывает в обслуживании поступающему требованию, источник сообщений должен быть каким-то образом поставлен 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 |