|
| |
|
Слаботочка Книги При анализе в частотной области характеристика согласованного фильтра (/) является комплексно-сопряженной по отношению к спектру импульса в канале S(f). В соответствии с этим сигнал У(/) на выходе согласованного фильтра может быть выражен в частотной области, как y(/) = H(/)S(/)=S*(/)S(/). (В.27) Представления в частотной области наиболее удобны, когда сигнал на передаче резко ограничен по полосе - это означает, что длительность импульсной реакции теоретически не ограничена. В этом случае энергия в импульсе (например, формы приподнятого косинуса ) прямо пропорциональна напряжению на входе решающего устройства в оптимальный для принятия решения момент. Отсюда оптимальное обнаружение достигается просто путем дискретизации сигнала на выходе фильтра приема в подходящее время. Используя соотношение (В.25) и параметр для представления энергии символа, выразим вероятность ошибки в двоичном сигнале из выражения (В.19): Ре = erfc Z, (В.28) где г = EJNoB. Отметим, что для заданной системы (постоянное значение В,) вероятность ошибки зависит от отношения энергии символа Ец и плотности шума No. Его обычно называют отношением сигнал-шум, хотя оно не соответствует результатам измерений отношения мощности сигнала к мощности шума. Выражение (В.28) представляет собой предпочтительную форму выражения вероятности ошибки для сопоставления различных способов модуляции. При передаче двоичных сигналов энергия символа Eg равна энергии на бит Ej,. В качестве примера типовой системы рассмотрим канал передачи импульсами постоянного тока с характеристикой типа приподнятый косинус и оптимальным распределением характеристик фильтрации. Спектр на выходе передатчика соответствует корню квадратному из спектра типа приподнятый косинус У (/), определенного выражением (В.2). Согласованный фильтр приема также имеет характеристику, соответствующую корню квадратному из характеристики типа приподнятый косинус (В.6). Отсюда шумовая полоса приемника оо (1--а)/2Г Влг = S Я(/) fdf == S У (/) \df = 1/2Г (независимо от а). (а29) Как определено в выражении (В.1) и показано на рис. В.З, нормированное пиковое значение на входе решающего устройства в момент решения при импульсе типа приподнятый косинус равно 1. Используя ненормированные импульсы с амплитудой Eg, можно определить вероятность ошибки в двоичном (+Е, - Е) канале с характеристикой типа приподнятый косинус : P£=-erfcz, (аЗО) где z = (Es / No)T, а Т - длительность тактового интервала. Хотя выражение (В.ЗО) получено для канала с характеристикой типа приподнятый косинус , оно является более общим в том смысле, что оно применимо к любой двоичной системе, использующей передачу противоположных сигналок В соответствии с этим, график на рис. 4.23, отображающий выражение (В.30), представляет наилучшую характеристику, достижимую в любой цифровой системе передачи, в которой производится обнаружение одного импульса в единицу времени. (Уменьшенные значения вероятности ошибки возможны, если использовать сигналы с избыточностью или коды, корректирующие ошибки.) Характеристика ошибки, представленная выражением (В.22) для многоуровневых систем, определяется мощностью шума на входе решающего устройства. Поскольку полоса сигнала идентична для всех систем, выражение (В.22) является действенным, так как шумовая полоса приемника не зависит от числа уровней. Однако если скорость передачи символов остается постоянной, то скорость передачи двоичного цифрового сигнала возрастает с числом уровней. Для сопоставления многоуровневых систем по заданной скорости передачи цифрового сигнала тактовый интервал Т и, следовательно, шумовые полосы должны быть соответственно подстроены. Если Т - тактовый интервал для двухуровневой системы, то тактовый интервал Ti для L-уровневой системы, обеспечивающей передачу цифрового сигнала с той же скоростью, определяется как (В.31) Используя шумовую полосу фильтра с характеристикой типа приподнятый косинус согласно выражению (В.29), распространим выражение (В.22) на многоуровневые системы: Ре - ---erfc z. logs/. L (B.32) Выражение (B.32) можно упростить и представить в более привычной форме, используя то, что энергия на символ Es = EbogL = VT, где Еь - энергия на бит: 1 L-1 logs/. L erfc z. (В.ЗЗ) где г Выражение (В.ЗЗ) представлено в виде графика на рис 4.26 для 2, 4, 8 и 16 уровней. Эти кривые представляют собой идеальные относительные характеристики многоуровневых систем пддачи импульсами постоянного тока при постоянной скорости передачи цифрового сигнала. Требования к полосе для систем с повышенным числом уровней уменьшаются пропорционально Ipgs. Выражение (В.ЗЗ) и рис. 4.26 представляют характеристику ошибок для многоуровневых систем, выраженную через отношение Ej/iVo (одна и та же скорость передачи цифрового сигнала, но различные полосы). Следующее соотношение может быть использовано для определения вероятности ошибки в зависимости от отношения сигнал-шум на входе решающего устройства (различные скорости передачи цифровых сигналов, но одна и та же полоса): ОСШ = Мощность сигнала £ По£2. Мощность шума Wo (1 / 2Г) .idogiDEb/No, (В.34) где 1/2Г - минимальная (по Найквисту) полоса сигнала. Отношение сигнал-шум, полученное в выражении (В.34), есть отношение мощности сигнала в момент решения к мощности шума на входе решающего устройства. Некоторые специалисты в области теории связи используют для определения вероятности ошибки отношение сигнал-шум на входе приемника. Поскольку это ОСШ измеряется перед тем, как шум ограничивается по полосе, для определения конечной мощности шума следует решить, что считать шумовой полосой. Обычно указывается полоса, соответствующая скорости передачи двоичного сигнала О/Т), или полоса Найквиста (1/2Г). В последнем случае отношение сигнал-шум получается таким же, как и в формуле (В.34). Исключения возникают при модуляции с двумя боковыми и использовании когерентного приема (например, при модуляции типа 2-ФМ), когда ОСШ на входе приемника на 3 дБ выше, чем на входе решающего устройства. (По отношению к опорному несущему колебанию демодулятора когерентной является вся мощность сигнала, но только половина мощности шума.) В.3.4. Системы с частичным откликом Формулу для вероятности ошибки для системы с частичным откликом вида 1+Z) можно получить, вводя следующие изменения по отношению к системе с полным откликом. 1. Расстояние ошибок точно равно половине расстояния ошибок соответствующей системы с полным откликом (см. рис. В.6). 2. Шумовая полоса приемника (в предположении о распределении характеристик фильтрации по закону квадратного корня) определяется путем интегрирования прм из формулы (В. 14): 1/2Г Bjv = \ COS nft df = 1 /лТ. (В.35) В соответствии с этим шумовая полоса системы с частичным откликом вида 1+D на 2 дБ меньше шумовой полосы системы с характеристикой типа приподнятый косинус (с полным откликом), полученной в выражении (В.29). Поскольку расстояние ошибок уменьшается на 6 дБ, общее ухудшение характеристики ошибок при фильтрации в системе с частичным откликом составляет 4 дБ (по отношению к неотфильтрованной мощности передаваемого сигнала). В отношении мощностей сигнала система с частичным откликом вносит меньшее ухудшение из-за большего ограничения спектра в фильтре передачи. Отличие мощностей в каналах этих двух систем может быть получено интегрированием соответствующих энергетических спектров в канале. Если используется распределение характеристик фильтрации по закону квадратного корня, то мощность в канале системы с частичным откликом на 2 дБ ниже мощности в канале соответствующих систем с полным откликом. В этом случае отношение мощностей в канале точно равно отношению шумовых полос, поскольку характеристики фильтров приема согласуются с соответствующими спектрами в канале, т. е. в формулах (В.29) и (В.35), по существу, выполнено интегрирование спектров в канале. Если учесть затухание за счет ограничения спектра в передатчике, то характеристика ошибок систем с частичным откликом и распределением характеристик фильтрации по закону квадратного корня становится только на 2 дБ хуже соответствующей характеристики системы с полным откликом. Само собой разумеется, что система с частичным откликом требует меньшей полосы, чем система с полным откликом. Для полноты приведем формулу вероятности ошибки для системы с частичным откликом вида D при распределении характеристик фильтрации по закону квадратного корня: L - 1 log2L -erfcz. (В.36) где z = (я/4) -д/Ej, / ;Vo / (L-\) , a Еь - энергия на бит в канале. Выражение (В.36) идентично выражению (В.32) за исключением коэффициента я/4, обусловленного уменьшенным расстоянием ошибок, уменьшенной шумовой полосой и пониженной мощностью в канале для системы с частичным откликом. R4. СИСТЕМЫ С ПЕРЕДАЧЕЙ НА НЕСУЩЕЙ В.4.1. Расчет фильтров В.4.2. Анализ вероятности ошибки Анализ вероятности ошибки для систем с передачей импульсами постоянного тока может быть непосредственно применен в системах с передачей на несущей при одном важном условии: должны использоваться когерентные модуляция и демодуляция. Например, когерентная демодуляция сигнала с 2-ФМ у(0 = со8[и)<--(р(<)1 заключается в вьшолнении операций, описываемых выражением: Ф (/)= низкочастотная часть от cos [ю/--ф(/)]2со8(о/)= = низкочастотная часть от {[coS(f(t) созш/ - - 8тф (/) sinw/] 2cos(o/) = = низкочастотная часть от {cosq) ) (1--cos2m/) - - 5тф(/)8т2(о/ = со8ф(0 (равен +1 при ф(/) = 0 и -1 при ф(/) = л). Отметим, что когерентная демодуляция заключается в умножении принимаемого сигнала на колебание местной несущей, которая находится точно в фазе с соответствующим поступившим сигналом. Отсюда когерентная демодуляция тесно связана с приемом при помощи согласованного фильтра, описанным формулами (В.26) и (В.27). Для завершения оптимального приема при модуляции цифровыми сигналами необходимо, чтобы характеристика фильтра приема, эквивалентного тому, который применялся при передаче импульсами постоянного тока, также была согласована с огибающей несущей: со8ф(/). Когда используется когерентная демодуляция (называемая также когерентным детектированием), характеристика вероятности ошибки идентична этому показателю для систем передачи импульсами постоянного тока. Следовательно, вероятность ошибки системы с модуляцией типа 2-ФМ при когерентном детектировании определяется выражением (В.19) или (В.28). Получение соответствия когерентной демодуляции приему с помощью согласованного фильтра показано на рис. В.9. Для удобства абсолютный биимпульсный сигнал сопоставляется с сигналом БВН. (Основной принцип приложим также и к синусоидальным несущим на любой частоте. Важное свойство, которое следует отметить на рис. В.9, состоит в том, что сигнал на выходе когерентного демодулятора (или, что эквивалентно, согласованного фильтра) идентичен сигналу с импульсами БВН. Кроме того, плотность мощности шума на выходе когерентного демодулятора идентична плотности мощности шума в системе с передачей импульсами постоянного тока. (Белый шум с положительным взвешиванием статистически никак не отличается от белого шума с отрицательным взвешиванием.) На рис. В.9 показано, что для сигналов с несущей, демодулированных когерент- : ным способом, существуют те же отношения сигнал-шум на входе решающего устройства, что и для систем с передачей импульсами постоянного тока, несмотря иа то, что системы с несущей (и двумя боковыми) требуют удвоенной полосы. Когерентная демодуляция приводит к шумовой полосе приемника, равной шумовой полосе эквивалентной системы с передачей импульсами постоянного тока, поскольку при когерентной демодуляции на выход проходит только половина мощности шума из полосы модулированного сигнала. [Шумы в полосе модулированного сигнала, фаза которых не совпадает с фазой когерентного опорного колебания, переносятся к частотам, равным удвоенной частоте несущей, а затем удаляются- с помощью фильтра i нижних частот, sinM/coSM<= (sin2iu/)/2.] За исключением нескольких относительно редких систем с частотной модуляцией все системы с модуляцией несущей цифровыми сигналами можно рассчитывать и анализировать с помощью эквивалентных каналов, передающих импульсы постоянного тока. Фильтры в области несущих частот получаются путем преобразования фильтров для сигналов в виде импульсов постоянного тока в полосовые фильтры с центром на несущей частоте. Импульсная реакция на выходе ствола определяется совокупностью характеристик эквивалентных фильтров при передаче импульсами постоянного тока. В соответствии с этим требуемая форма импульсов может достигаться путем фильтрации либо сигналов в виде импульсов постоянного тока, либо модулированных сигналов Распределение характеристик фильтрации в стволе зависит от применения. Во всех случаях полная характеристика ствола идентична той, которая определена выражением (В.2) для каналов с характеристикой типа приподнятый косинус или выражением (В.13) для систем с частичным откликом. Цифровой сигнал Абсолютный биимпульсный-сигнал Когерентное опорное -колебание Выходной сигналг (результат ~1 перемноженир) Смеситель (демодулнтор) LTLnj Рис в.9. Когерентная демодуляция (детектирование) абсолютного биимпульсного В.4.3. Вероятность ошибки при КАМ Вьфажение для вероятности ошибки систем с КАМ и когерентным детектированием идентично выражению для вероятности ошибки соответствующей многоуровневой системы с передачей импульсами постоянного тока, примененному по отдельности к каждому из квадратурных каналоа В соответствии с этим характеристика ошибки системы с модуляш1ей типа 16-КАМ представлена выражением (В.ЗЗ) для L, равного четырем уровням. В системах с КАМ когерентная демодуляция приводит к тому, что половина мощности шума из полосы модулированного сигнала проявляется в детекторе канала В, а половина - в детекторе канала К. Само собой разумеется, что общая мощность сигнала делится на два, так что отношение сигнал-шум на выходах отдельных детекторов вдедаично отношению модулированного сигнала к шуму (т. е. ОСШ перед детектированием равно ОСШ после детектирования). Характеристика вероятности ошибки для систем с КАМ представлена на графике (см. рис. 6.20) в зависимости от Е/ЛГо. Чтобы связать эти результаты с отношением сигнал-шум, используйте выражение (В.34), приняв за L число уровней в каждом из квадратурных каналоа В.4.4. Вероятность ошибки при ФМ Вероятность ошибки для систем с многоуровневой ФМ легче всего получить, используя для сигналов представления с квадратурными каналами. Например, на рис. В.10 представлены области ошибок решения для характерных фаз в сигнале с 8-ФМ. Для получения квадратурных сигналов Уд (<) и У (/), определенных в выражениях (6.10) и (6.11) соответственно, принимаемый сигнал обрабатывается двумя детекторами, управляемыми колебаниями с ортогональными фазами. Если фаза передаваемого колебания равна я/8 (соответствует значению цифрового сигнала 011), то ошибка в решении возникает, если шум заставляет Y/(t) в момент решения стать положительным. [УСО положителен в нижнем направлении, что соответствует задержке в канале К (синусоидальном), по отношению к каналу В (косинусоидальному) ]. Нормированное расстояние ошибок равно sin (л/8). Ошибка в решении возникает также, если шум заставляет - Y/ (t) превысить Уд (<), что указывает на то, что фаза больше я/4. Это последнее условие соответствует отрицательному значению преобразованного сигнала У (/) = 0,707Ув(<) + 0,707 У;((<). 1Ув{1) представляет собой проекцию принимаемого сигнала на базовый вектор -я/4 (см. рис. 6.13).] Изучение рис. В.10 показывает, что расстояние ошибок при втором типе ошибок также равно sin (я/8). Поскольку дисперсия шума в Yg(t) идентична дисперсии шума в Уд (<) (с учетом множителей 0,707), оба типа ошибок равновероятны. В общем случае расстояние ошибок в системах в ФМ и N фазами равно Vsm(n/N), где V - амплитуда сигнала на входе детектора (т. е. радиус в пространстве сигналов типа ФМ). Ошибка происходит в том случае, если на выходе любого из двух фазовых детекторов имеется шум подходящей полярности. Предполагается, однако, что ошибка при детектировании приводит к ошибке в цифровом сигнале, равном только одному биту. Обобщенное теоретическое выражение для вероятности ошибки для модуляции типа ФМ определяется теперь путем модификации выражения (В. 22): Ре = (1 /log2V) erfc z, (В.38) где z = [sin Ы/т] V I V2a. Амплитуда сигнала V = Ve* Oogiт/Т , (B.39) a среднее квадратическое значение напряжения шума a = ~\jN (В.40) для шума в полосе Найквиста. Комбинирование выражений (В.38) - (В.40) позволяет установить связь между вероятностями ошибок при ФМ, энергией на бит и плотностью шума в,канале: где z = sini-y/logTiv Д Ре= (l/logsJV) erfz, (В.41) Выражение (В.41) представлено в виде графика на рис. 6.16 для систем с ФМ при различном числе фаз . Для определения зависимости вероятности ошибки от отношения мощности сигнала к мощности шума используйте следующее выражение: ОСШ= (log2V) (Е/ЛГо) при N>2. (В.42) ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ТАБЛИЦЫ МАКСИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИНТЕНСИВНОСТИ ПОСТУПАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ Область 2, где фиксируется 010  - Расстояние ошибок sin(7i/8) Область 1, где фиксируется 111 Рис. В.10. Области ошибок решения для значения сигнала с 8-ФМ, равного я/8 (011) 518 Таблица Г.1 представляет собой таблицу максимальных значений интенсивности поступающей нагрузки А цдя различных вероятностей потерь В и разного (числа обслуживающих устройств N. Вероятности потерь даны для случая бесконеч-JHoro числа источников и работы системы в режиме с потерями [В-формула Эрланга, см. уравнение (9.8)]. Таблица Г.2 представляет собой таблицу максимальных значений интенсивности поступающей нагрузки А цдя различных значений вероятностей потерь В, разного ; числа обслуживающих устройств N при конечном числе источников М. Интенсив-JnocTb поступающей нагрузки А определяется как Мр, где р - средняя активность .источника в предположении, что ни один вызов не теряется. Вероятность потерь для конечного числа источников определена по формуле (9.13). Примечание. Содержание следующих таблиц получено из работы [15] в списке литературы к гл. 9. Для систем с модуляцией типа 2-ФМ вероятности ошибки, определенные в выражениях (В.38) и (В.41), следует разделить на 2, так как необходим только один :фазовый детектор и ошибки в нем создаются только шумом одной полярности. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 |